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- 2021-04-20 发布
蕉岭中学2018-2019学年第二学期高二第二次质检考试
数学（理科）试题
命题人：吴晓海 审题人：林皇干
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集为，集合 ,则=（ ）
A． B． C. D.
2．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限
3. 命题“若，则”的否命题是( )
A．若，则中至少有一个不为0
B．若，则中至少有一个不为0
C．若，则都不为0
D．若，则都不为0
4．已知的终边关于直线对称，且，则等于( )
A． B． C． D．
5.若满足 ，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D.
7．如图四边形为平行四边形，，
若 ，则的值为（ ）
A． B． C. D．
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体中，，而对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线：的一条渐近线为，圆:与交于两点，若是等腰直角三角形，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.
12．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13.已知向量，若，则 __________．
14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________．
15.三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为________．
16. 在中，为的中点，，点与点在直线的异侧，且，则四边形的面积的最大值为_______.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知向量， ， ，函数.
（1）当时，求的最大值与最小值；
（2）设， ，求.
18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，， .
（1）求数列的通项公式；
（2）若从数列中依次取出第项，第项，第项，，第项，按原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和
19.（本小题满分12分）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
判断的形状；
若，点D为AB边的中点，，求的面积．
20. （本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交于BD于点H，将沿EF折到的位置，．Ⅰ证明：平面ABCD；Ⅱ求二面角的正弦值．
21. （本小题满分12分）对称轴为坐标轴的椭圆的焦点为在上. （1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点的直线与椭圆交于两点，且直线的斜率依次成等比数列，则当的面积为时，求直线 的方程.
22. （本小题满分12分）已知函数 ．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求整数的最小值．
蕉岭中学2018-2019学年第二学期
高二第二次质检考试数学（理科）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
D
B
C
A
B
C
D
D
A
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
(13) (14).3 (15)60 (16) 3
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）， ， ， ，当时， ， ， 当即时， ，当即时， . ............5分
（2）， ， .， ， ， ， . .........10分
18．（1）等差数列中，，
解得
， . ........... .........6分
（2）由（1）知，，，…，
. ...........................12分
19.解：中，，
由正弦定理可得，
即，即，即，
或，，或，故为直角三角形或等腰三角形．
若，则为等腰三角形，则，，如图所示：
点D为AB边的中点，，
中，由余弦定理可得，
即，，
的面积．
20.
Ⅰ证明：是菱形，
，又，
，则，
又由ABCD是菱形，得，则，
，则，
，
，
又，，
，
，则，
，则，
又，
平面ABCD； ......... 6分Ⅱ解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，
0，，3，，0，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，．
．
同理可求得平面的一个法向量，.........10分
设二面角二面角的平面角为，
则．
二面角的正弦值为．.........12分
21. （1）设椭圆的方程为 ，
由题意可得，又由，得，故，
椭圆的方程为； ............4分
（2）设，.
由题意直线的方程为：，
联立得，
，化简，得①
②，③ ..............6分
直线，，的斜率依次成等比数列，，
，化简，得
，，又，， ................8分
且由①知.
原点到直线的距离.
，解得（负舍）或
（负舍）.
直线的方程为：或. .............12分
22.（1）由题意可知，定义域为，，·······1分
方程对应的，
1˚当，即时，当时，，
∴在上单调递减；·······2分
2˚当，即时，
①当时，方程的两根为，且，
此时，在上，函数单调递增，
在，上，函数单调递减；·····4分
②当时，，，
此时当，，单调递增，
当时，，单调递减；
综上：当时，，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为，；
当时，的单调减区间为。·······6分
（2）原式等价于，
即存在，使成立．
设，，则，·······7分
设，
则，∴在上单调递增．
又，，
根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，·······9分
则，且，即，
∴，
由题意可知，又，，∴的最小值为5．······12分