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- 2021-04-20 发布
5月9日半月考文数试题
范围：选填:集合逻辑，函数基本性质 解答题：高考全部内容
一、单选题（每题5分，共60分）
1．集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．， B．，
C．的充要条件是 D．，是的充分条件
3．已知命题：，；命题：，，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知条件，条件，则是的（ ）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D．既不充分也不必要
5．命题“，使成立”的否定为（ ）
A．，使成立 B．，使成立
C．，均有成立 D．，均有成立
6．已知是定义在R上的奇函数，当时(m为常数)，则的值为( ) A．4 B．6 C． D．
7．下列说法中，正确的是 （ ）
A．幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）
B．当a＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数y＝xα，当a＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小
8．函数与的图象关于直线________对称。
A． B． C． D.
9．将函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．C． D．
12．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．函数的图像恒经过的定点是________.
14．已知命题“若，则”，命题的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为 ．
15．已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____．
16．16．定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________
三、解答题
17．（12分）在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角； （2）若，的面积为，求的值．
18．（12分）如图，在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点.
(1)证明： 面； (2)求三棱锥的体积．
19．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。
（1） 写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
0．10
0．05
0．010
0．005
2．706
3．841
6．635
7．879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。
（参考公式：其中）
20．（12分）已知椭圆的右焦点为，实轴的长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和，求的最小值．
21．（12分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围.
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，若直线与曲线交于， 两点，且，求实数的值.
参考答案
1．D
3．D
5．D
6．C
7．D
8．A
9．C
10．D
11．D
12．C
13．
14．2
15．
16．
17．（1）可通过化简计算出的值，然后解出的值。
（ 2）可通过计算和的值来计算的值。
【详解】
（1）由得，
又，所以，得，所以。
（2）由的面积为及得，即 ，
又，从而由余弦定理得，所以，
所以。
18．证明：(1)取中点，连接
分别是的中点
四边形是平行四边形
又
(2) .
19．（1）由图可知，年龄段在20～30（单位：岁），其中猜对10人，猜错30人，年龄段在30～40（单位：岁），其中猜对10人，猜错70人，故可列出2×2列联表，根据参考公式可算出，
故有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。（2）首先确定这是个古典概型，通过列举可知从6人中取3人的结果有20种，而事件A的结果有16种，故3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。
试题解析：（1）
年龄/正误
正确
错误
合计
20~30
10
30
40
30~40
10
70
80
合计
20
100
120
由上表可知
有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。
（2）设事件A为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A的结果有16种，故3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率
20．（1）由题可知：椭圆的焦点在轴上，其标准方程可设为：
又实轴的长为，则，；，故.
故椭圆的标准方程为： 4分
（2）由题可知：
1°当或所在的直线斜率为零时，另一条直线的斜率不存在，
此时= 6分
2°当与所在的直线斜率都存在，而且不为零时，设所在直线的斜率为，则所在的直线斜率为.
则所在直线方程为：.
联立得：，即.
设两点的横坐标分别为则由韦达定理可得：
8分
则=
=
=
以代换上式中的可得：
10分
则+
令，则.此时
.由二次函数的性质可得：.故.
此时，即.
综上可知：当时取得最小值，最小值为. 13分
21．（1）因为f(x)＝exsinx－ax2，
所以f¢(x)＝ex(cosx＋sinx)－2ax，
故f¢(0)＝1．
又f(0)＝0，
故所求切线方程为y＝ x．
（2）①当x＝0时，f(0)＝0在区间上恒成立．
②当0＜x≤时，由得在上恒成立．
令g(x)＝，x∈(0， ]，
则g¢(x)＝．
令G(x)＝x(sinx＋cosx)－2sinx，x∈(0， ]，
则G¢(x)＝(cosx－sinx)(x－1)，
故当0＜x＜时，G¢(x)＜0，G(x)单调递减；
当＜x＜1时，G¢(x)＞0，G(x)单调递增；
当1＜x≤时，G¢(x)＜0，G(x)单调递减，
又G(0)＝0，G(1)＝cos1－sin1＜0，
所以G(x)＜0，
所以g¢(x)＜0，
所以g(x)在(0， ]上单调递减，
所以g(x)≥g()＝，
故a≤．
综上实数的取值范围为．
22．（1）直线的参数方程是（为参数），
消去参数可得直线的普通方程为
曲线的极坐标方程是，化为，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将（为参数）代入方程，
得.
即.由，解得，所以
∵，∴，解得或或1，
都满足，所以或或.