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- 2021-04-20 发布
第
六
节
直线与圆锥曲线的位置关系
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
1.
直线与圆锥曲线的位置关系
.
2.
轨迹与轨迹方程
.
3.
定值与最值问题
.
4.
存在性问题
.
1.
能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题
.
2.
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系
.
3.
理解基本几何量，如斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值、最值问题
.
4.
能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题
.
高考对本节内容的考查主要是直线与圆锥曲线的位置关系及有关弦长的综合性问题
.
以直线与圆锥曲线的位置关系为主线，针对定点与定值，参变量的取值范围和最值等问题实施考查，同时，常伴随探究性与存在性问题
.
本部分为高考必考内容，注重对直线与圆锥曲线的位置关系及有关弦长的结合问题、轨迹方程、定点、最值等问题的考查，着重考查分析问题、解决问题的能力
.
考查方程思想、数形结合思想、分类讨论、转化与化归思想的应用，对抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力都有很高的要求
.
知识点一
直线与圆锥曲线的位置关系
1.
直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量
y
(
或
x
)
得变量
x
(
或
y
)
的方程：
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0(
或
ay
2
＋
by
＋
c
＝
0).
(1)
若
a
≠
0
，可考虑一元二次方程的判别式
Δ
，有：
①
Δ
>0
⇔
直线与圆锥曲线
；
②
Δ
＝
0
⇔
直线与圆锥曲线
；
③
Δ
<0
⇔
直线与圆锥曲线
.
(2)
若
a
＝
0
，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点
.
相交
相切
相离
2.
圆锥曲线的弦长问题
设直线
l
与圆锥曲线
C
相交于
A
、
B
两点，
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，则弦长
|
AB
|
＝
_____________
或
______________
.
知识点二
曲线与方程
1.
曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线
C
(
看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹
)
上的点与一个二元方程
f
(
x
，
y
)
＝
0
的实数解建立了如下的关系：
(1)
曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)
以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
.
求动点的轨迹方程一般步骤
——
“
建、设、列、代、证
”
(1)
建系
——
建立适当的坐标系
.
(2)
设点
——
设轨迹上的任一点
P
(
x
，
y
).
(3)
列式
——
列出动点
P
所满足的关系式
.
(4)
代入
——
依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为
x
，
y
的方程式，并化简
.
(5)
证明
——
证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程
.
2.
圆锥曲线的综合问题
(1)
最值问题：可结合数形结合或转化为函数最值或线性规则问题
.
(2)
定值问题：先求出表达式，再化简，据已知条件列出方程
(
或不等式
)
，消参
.
(3)
对参数的取值范围问题：据已知条件建立等式或不等式或函数关系，求参数的范围
.
(4)
对称问题：若
A
，
B
两点关于直线对称，则直线
AB
与对称轴垂直，且线段
AB
的中点在对称轴上，即对称轴是线段
AB
的垂直平分线
.
解决对称问题应注意条件的充分利用，尤其是各量之间的关系
.
(5)
存在性问题：一般采用
“
假设反证法
”
或
“
假设验证法
”
来解决
.
另外，也可先用特殊情况或特殊位置得到所求的值，再给出一般性的证明，即由特殊到一般的方法
.
【
名师助学
】
3
.
中点弦问题
，
可以利用
“
点差法
”
，
在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时
，
设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标
，
代入圆锥曲线的方程并作差
，
从而求出直线的斜率
，
然后利用中点求出直线方程
.
“
点差法
”
的常见题型有：求中点弦方程、求
(
过定点、平行弦
)
弦中点轨迹、垂直平分线问题
.
必须提醒的是
“
点差法
”
具有不等价性
，
即要考虑判别式
Δ
是否为正数
.
4
.
处理好圆锥曲线综合问题
(1)
要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、公式
，
达到灵活运用；
(2)
要善于用代数的知识和方法；
(3)
要重视函数与方程思想的应用；
(4)
要重视对数学思想、方法的归纳提炼
，
达到优化解题思路、简化解题过程的效果
.
方法
1
最值与范围问题
求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似
.
求最值常见的解法有两种：代数法和几何法
.
若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值
.
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题
.
[
点评
]
本题考查椭圆的几何性质
，
直线与椭圆的位置关系
，
解决本题的关键是利用弦长公式表示出
|
AB
|
，
再利用基本不等式求解最值
.
方法
2
定点与定值问题
(1)
解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系
.
(2)
解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值，就是要求的定值
.
解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量
.
[
点评
]
圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型
，
运算量较大
，
解题思维性较强
.
解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式
，
再根据已知条件列出方程组
(
或不等式
)
，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证
.
方法
3
圆锥曲线中的探索性问题
探究性问题是指结论或条件不完备的试题，这类试题不给出确定的结论，让考生根据题目的条件进行分析判断，从而得出确定的结论，对分析问题、解决问题的能力有较高的要求，是高考压轴的热点题型
.
解决方案：圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答
.
[
点评
]
1.
探索性问题答题模板：
第一步：假设结论存在
.
第二步：结合已知条件进行推理求解
.
第三步：若能推出合理结果
，
经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾
，
即否定假设
.
第四步：反思回顾
，
查看关键点、易错点及解题规范
.
2
.
本题是圆锥曲线中的探索性问题
，
也是最值问题
，
求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点
，
通常是先建立一个目标函数
，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值
.