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- 2021-04-20 发布
福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期
期末考试试题数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.下列说法正确的是（ ）
A．若命题：，，则:，；
B．命题已知，若，则或是真命题；
C．设，则是的充分不必要条件；
D．、，如果，则的否命题是，如果，则
3.直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
4.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.已知枚的一元硬币中混有枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ）
A． B． C. D．
6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为、，则小球落入袋中的概率为（ ）
A． B． C. D.
7.已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则（ ）
A． B． C. D．
8.设为坐标原点，动点在圆:上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C. D．
9.已知，分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上.若，则的面积为（ ）
A． B． C. D．
10.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，则（ ）
A． B． C. D．
11.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C. D．
12.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：① ② ③ ④
其中正确的式子的序号是（ ）
A．②③ B．①④ C.①③ D．②④
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为的样本，若第一组抽出的号码为，则第五组抽出的号码为 ．
14.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和是，则椭圆的方程是 ．
15.如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是、、、，焦点分别为、，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是 ．
16.过轴上定点的动直线与抛物线交于、两点，若为定值，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
18.高二某班共有名男生，在一次体验中这名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：）的茎叶图如下：
（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；
（2）从该班身高超过的名男生中随机选出名男生参加校篮球队集训，求这名男生至少有人来自第二组的概率；
（3）在两组身高位于（单位：）的男生中各随机选出人，设这人中身高位于（单位：）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
19.已知点与点的距离比它的直线：的距离小.
（1）求点的轨迹方程；
（2），是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由.
20.已知动圆过定点且与定直线：相切，动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作倾斜角为的直线，交曲线于，两点，求的面积.
21.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：平面
（2）已知，，求二面角的余弦值.
22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上的动点，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）直线的参数方程是（为参数），其中.与交于点，，求直线的斜率.
试卷答案
一、选择题
1-5:DBCCD 6-10:DCBBC 11、12：CB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）因为，，成等差数列，
所以，
所以，
所以，因为数列是等比数列，所以，
又，所以，所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
，
，
所以
.
故.
18.（1）第一组学生身高的中位数为，
第二组学生身高的中位数为；
（2）记“这名男生至少有人来自第二组”为事件，
，
这名男生至少有人来自第二组的概率为；
（3）的可能取值为，，，
，，
，
的分布列为
19.（1）由题意知动点到的距离比它到直线：的距离小，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；
（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为，
设直线的方程为，，联立方程
，消去，可得，
即，
，，，
由题意知，即，则，
，，，
直线的方程为，
直线过定点，且定点坐标为；
法二：假设存在定点，设定点，，，
，，，
又、在抛物线上，即，代入上式，可得，
，
又、、三点共线，， ，
假设成立，直线经过轴的定点，坐标为.
20.解：（1）依题意知，点到定点和直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线的方程为，由，得，故曲线的方程为.
（2）直线的方程为，
由消去整理得，
设，，则，
.
所以，的面积为.
21.解：（1）由，长轴长为
得：，所以
椭圆方程为
（2）设，，由(1)可知椭圆方程为①，
直线的方程为②
把②代入①得化简并整理得
，
又
22.（1）设点的极坐标，点的极坐标，
由题意知，
由得曲线的极坐标方程为，
点的轨迹的直角坐标方程为；
（2）法一：由直线的参数方程可知，直线过原点且倾角为，
则直线极坐标方程为，联立
，，
，，
或，或，直线的斜率为或；
法二：由题意分析可知直线的斜率一定存在，且由直线的参数方程可得，直线过原点，设直线的普通方程为，
到的距离，可得，
直线的斜率为或.