2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 15页

2018-2019 学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二下学期期中考 试数学（理）试题 一、单选题 1．函数 的导数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先将函数 f（x）化简，再对其求导即可． 【详解】 ∵f（x）=8x3+1，f′（x）=24x2． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查导数的运算及立方和公式，属于基础题． 2． 的展开式中,含 x2 的项的系数为 ( ) A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【解析】将（1+x）4 展开，进而求出(1+ )(1+x)4 的展开式中含 x2 的项的系数 【详解】 (1+x)4= x0+ x1+ x2+ x3+ x4 展开式中含 x2 项的系数为 C42+C43=10．故选：C 【点睛】 求两个因式之积的特定项的系数,可先展开二项式，或利用通项公式，分析得到 特定项有几种情况，再分别求出对应项的系数，进而得解 3．有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒, 则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　) A．0.72 B．0.8 C． D．0.9 【答案】A 【解析】设一批种子的发芽率为事件 ，则 ，出芽后的幼苗成活率为事件 B， 则 ，根据条件概率公式计算即可， 【详解】 设一批种子的发芽率为事件 ，则 ， 出芽后的幼苗成活率为事件 ，则 ， ∴这粒种子能成长为幼苗的概率 ，故选 A． 【点睛】 本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题． 4．在一线性回归模型中，计算其相关指数 R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当(　　) A．该线性回归方程的拟合效果较好 B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 96% C．随机误差对预报变量的影响约占 4% D．有 96%的样本点在回归直线上，但是没有 100%的把握 【答案】D 【解析】根据相关系数的意义，逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【详解】 由相关指数 R2 表示的意义可知 A、B、C 三种说法都很妥当，相关指数 R2＝0.96，其值 较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有 96%的样 本点在回归直线上． 故选：D 【点睛】 本题考查的知识点是相关系数，正确理解相关系数的含义是解答的关键 5．若函数 在 R 上为减函数，则实数ａ的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数单调性与导数的关系,知 在 R 上恒成立,结合 二次函数的图象与性质,可求实数ａ的取值范围. 【详解】 由 在 R 上为减函数， 可知 在 R 上恒成立， 则 且 ，解得 ，所以实数 a 的取值范围是 .故选 A . 【点睛】 根据函数单调性求参数的值或取值范围的一般步骤:将可导函数 在指定区间 D 上单 调递增(减),求参数,转化为 (或 )恒成立问题,构建不等式,解不等式即可; 在解答过程中,注意”=”的取舍. 6．设函数 f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f ′（x）的 图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项. 【详解】 根据 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到 右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有 选项符合，故本题选 A. 【点睛】 本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 7．若函数 在区间 内有最小值，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对 f（x）进行求导，要求函数 f（x）=x3-3ax-a 在（0，1）内有最小值，说明 f （x）的极小值在（0，1）内，从而讨论 a 与 0 大小，从而进行求解． 【详解】 令 ，由题意知 ，得 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，注意本题（0，1）是开区间，不是 闭区间，此题是一道中档题； 8．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为 优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率 是（ ） A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【答案】A 【解析】试题分析：记 “一天的空气质量为优良”， “第二天空气质量也为优 良”，由题意可知 ,所以 ，故选 A. 【考点】条件概率． 9．某校需要从 5 名男生和 5 名女生中选出 4 人参加一项文化交流活动,由于工作需要, 男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有 (　　) A．56 种 B．49 种 C．42 种 D．14 种 【答案】B 【解析】分成两类：男生甲与男生乙二人都参加，男生甲与男生乙二人中仅有1 个人参 加，最后相加即可. 【详解】 (1)男生甲、乙有一人参加,女生丙参加,再从另外 7 人中任选 2 人,共有 =42 种; (2)男生甲、乙都参加,女生丙也参加,再从另 7 人中任选 1 人,有 =7 种. 综合(1)(2)得不同的选人方式有 =49 种. 故选：B 【点睛】 本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题． 10．6 个停车位置,有 3 辆汽车需要停放,若要使 3 个空位连在一起,则停放的方法种数 为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将 3 个空位看成一个整体，与原有的 3 辆汽车全排列即可。 【详解】 将 3 个空位看成一个整体，问题转化为 4 个元素全排列问题，即 . A = B = ( ) ( )0.75, 0.6P A P A B= ∩ = ( ) ( ) 4( | ) 5 P A BP B A P A ∩= = 【点睛】 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素 视为一个大元素。 11．设函数 的导函数为 ，且 ， ，则下列 不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：构造辅助函数 ，则 ，因为 ，所以 ，所以函数 为实数集上的单调递减函数， 则 ，因为 ， ， 又 ，所以 ，所以 ，故选 B. 【考点】利用导数研究函数的单调性及其应用. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中涉及到不等式 关系与不等式，训练了函数的构造法和函数单调性的应用，解答此题的关键是结合选项 的结构特点，正确构造新的辅助函数，使得抽象的函数问题转化为具体的函数问题，着 重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 12．做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为 元，侧面 的材料每单位面积的价格为 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设锅炉的高 h 与底面直径 d 的比为 k= ，运用圆柱的表面积公式和体积公式， 结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到． 【详解】 设锅炉的高 h 与底面直径 d 的比为 k= ， 由 V= h= •kd= kd3， 可得 d= ，h=kd= ， 设造价为 y，则 y=2π•（ ）2•a+πdh•b= • • +πb• • ， 则 y′= • •（﹣ ） ++πb• • ， 令 y′=0，解得 k= ，可得此时 y 取得最小值． 故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求最值，同时考查圆柱的表面积 和体积的运用，属于中档题． 二、填空题 13．已知曲线方程为 ，则曲线在 处的切线方程为______． 【答案】 【解析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】 设 是点 P 附近的一点， 则 ． 当 无限趋于 0 时， 无限趋于常数 1， ∴曲线 在点 P 处有切线，且切线的斜率为 1， 故所求切线方程为 ． 【点睛】 本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题. 14．设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 等于 _____. 【答案】0.125. 【解析】根据正态分布的特征，可直接计算出结果. 【详解】 因为随机变量 服从正态分布 , , 所以 . 故答案为 0.125 【点睛】 本题主要考查正态分布，熟记正态分布的特征即可，属于常考题型. 15．一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为 ,乙解出它的概率为 ,丙解出它的概率为 ,由 甲、乙、丙三人独立解答此题,只有 1 人解出的概率为_____. 【答案】 【解析】只有一个人解出来分成三种情况，分别计算出三种情况对应的概率，然后相加 求得只有 人解出的概率. 【详解】 只有一个人解出来有三种情况：其一是只有甲解出来的概率为 ； 其二是只有乙解出来的概率为 ；其三是只有丙解出来的概率为 .三种情况相加得 .即只有 人解出的概率为 . 【点睛】 本小题主要考查相互独立事件的识别以及相互独立事件概率的计算，考查分类加法计数 原理的应用，属于基础题. 16．设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1·x+a2·x2+…+a50·x50,则 a3 等于_____.（用二项 式系数作答） 【答案】 【解析】 对应的是 ，将各项展开式中含有 的系数相加，可求得 的值. 【详解】 对应的是 ，各项展开式中含有 的系数相加为 .即 . 【点睛】 本小题主要考查二项式的性质，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题 17．假设关于某设备的使用年限 (年)和所支出的年平均维修费用 (万元)(即维修费用之 和除以使用年限),有如下的统计资料： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）画出散点图； （2）求 关于 的线性回归方程； （3）估计使用年限为 10 年时所支出的年平均维修费用是多少? 参考公式： 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）12.38. 【解析】（1）根据题中数据，可直接作出散点图； （2）根据散点图，判断两变量呈线性相关关系，由公式，结合数据求出 和 ，进而可 得出回归方程； （3）将 代入（2）中方程，即可求出结果. 【详解】 (1）画出散点图如图所示： （2）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相 关关系. 由题表数据可得 ， ， 由公式可得 ， ， 即回归方程是 . （3）由（2）可得， 当 时， ； 即，使用年限为 10 年时所支出的年平均维修费用是 . 【点睛】 本题主要考查回归分析，熟记线性回归分析的基本思想以及最小二乘法求 和 即可，属 于常考题型. 18．已知函数 . （1）求 函数的单调区间； （2）若 ，求函数 的值域. 【答案】(1) 函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为（-1， 2）. (2) . 【解析】（1）由 .，求得 f′（x）= ，通过对 f ' （x）＞0 与 f '（x）＜0 的分析，可求得 f（x）的单调区间. （2）根据（1）中函数的单调性，求函数在 上的最值，进而得函数在该区间上的 值域. 【详解】 （1） 当 时， 或 ； 当 时， . 所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为（-1，2）. （2）由（1）知， ， . 又因为 ， ， 所以函数 在区间 上的值域为 . 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在指定区间内的值域； 函数的最大值或最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处，故求极值和端点值，即可 判断函数在指定区间上的值域. 19．按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品， 否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质 量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本对规定的质量 指标值进行检测．表 1 是甲套设备的样本频数分布表，图 1 是乙套设备的样本频率分布 直方图． 质量指标 值 [95，100） [100，105） [105，110） [110，115） [115，120） [120，125] 频数 1 4 19 20 5 1 表 1：甲套设备的样本频数分布表 （1）将频率视为概率，若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中合格品约有多少件？ （2）填写下面 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为这种产品的质量 指标值与甲乙两套设备的选择有关： 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 （3）根据表和图，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．参考公式及数据：x2= P（Х2≥k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）800；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）结合频数分布表，求出满足条件的频率和频数； （2）求出 2×2 列联表，计算 k2 的值，判断即可； （3）根据题意，利用满足条件的频率与方差的含有，判断即可． 【详解】 （1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022）×5=0.16； ∴乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 5000×0.16=800（件）； （2）由表 1 和图得到列联表： 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 48 42 90 不合格品 2 8 10 合计 50 50 100 将列联表中的数据代入公式计算得 K2= =4＞3.841； ∴有 95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； （3）由表 1 和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为 =0.96， 乙套设备生产的合格品的概率约为 1-0.16=0.84， 且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间， 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散； 因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定， 所以甲套设备优于乙套设备． 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，其中解答中熟记频率分布直 方图的相关知识，以及准确利用公式计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于中档试题。 20．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通 过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成,2 题不能完成;考生乙每题正确完成的 概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响. (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值; (2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生的 实验操作能力. 【答案】（1） ； （2）可以判断甲的实验操作能力较强.. 【解析】(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ξ,η,得出随机变量 ξ,η 的分布 列，利用即可求解数学期望； (2)由（1）分别求得 P(ξ≥2)和 P(η≥2 的概率，比较即可得到结论. 【详解】 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ξ,η, 则 ξ 取值分别为 1,2,3;η 取值分别为 0,1,2,3. P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= , ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为 ξ 1 2 3 P Eξ=1 +2 +3 =2. ∵P(η=0)= , 同理 P(η=1)= ,P(η=2)= ,P(η=3)= , ∴考生乙正确完成题数的概率分布列为 η 0 1 2 3 P Eη=0 +1 +2 +3 =2. (2)∵P(ξ≥2)= =0.8,P(η≥2)= 0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2). 从做对题数的均值考察,两人水平相当;从至少完成 2 题的概率考察,甲获得通过的可能 性大. 因此可以判断甲的实验操作能力较强. 【点睛】 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学的期望及其应用，其中解答中认真审题， 得出随机变量 ξ,η 的分别，利用期望的公式，准确求解期望是解答的关键，着重考查了 分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装 有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球， 在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有 红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） .（2）见解析. 【解析】（1）先记事件 =｛从甲箱中摸出的 1 个球是红球｝， =｛从乙箱中摸出的 1 个球是红球｝, =｛顾客抽奖 1 次获一等奖｝， =｛顾客抽奖 1 次获二等奖｝， =｛顾客抽奖 1 次 能获奖｝.根据题意确定这些事件之间关系，再根据题意，求出对应概率即可； （2）先由（1）可得顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ，且 ，进而可求出 分布列与期望. 【详解】 （1）记事件 =｛从甲箱中摸出的 1 个球是红球｝， =｛从乙箱中摸出的 1 个球是红 球｝, =｛顾客抽奖 1 次获一等奖｝， =｛顾客抽奖 1 次获二等奖｝， =｛顾客抽奖 1 次 能获奖｝. 由题意， 与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且 ， ， . 由题意 ， ，所以 ， X X CFBC ⊥ 1A 2A 1B 2B C 1 5 1(3, )5X B∼ 1A 2A 1B 2B C 1A 2A 1 2A A 1 2A A 1B 2B 11 2B A A= 2 1 2 1 2B A A A A= + 1 2C B B= + 1 4 2( ) 10 5P A = = 2 5 1( ) 10 2P A = = 1 1 2 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 5P B P A A P A P A= = = × = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ( )) (1 ( )) ( )P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A= + = + = − + − ， 故所求概率为 ； （2）顾客抽奖 3 次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ， 所以 ， 于是 ； ； ； ； 故 的分布列为 的数学期望为 . 【点睛】 本题主要考查随机事件的概率，以及离散型随机变量的期望与分布列，熟记概念以及公 式即可，属于常考题型. 22．已知函数 . （1）若 ，判断函数 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说 明理由； （2）设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的 取值范围. 【答案】（Ⅰ）不存在极值（Ⅱ） 【解析】试题分析：（1）利用求极值的方法，先求导，再判断函数 f（x）单调性，然 后判断是否存在极值；（2）本命题等价于 f（x）-g（x）＞0 在[1，e]上有解，设 F（x） =f（x）-g（x），F（x）min=F（1）=0，从而求得 a 的取值范围 试题解析：（1）当 时， ，其定义域为 因为 ， 2 1 2 1 1(1 ) (1 )5 2 5 2 2 = × − + − × = 1 2 1 2 1 1 7( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 10P C P B B P B P B= + = + = + = 1 5 1(3, )5X B∼ 125 64)5 4()5 1()0( 300 3 === CXP 125 48)5 4()5 1()1( 211 3 === CXP 125 12)5 4()5 1()2( 122 3 === CXP 3 3 0 3 1 4 1( 3) ( ) ( )5 5 125P X C= = = X X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 X 5 3 5 13)( =×=XE 所以 在 上单调递增， 所以函数 不存在极值. （2）由存在一个 ，使得 成立， 等价于 即 成立 令 等价于“当 时， ”. 因为 ，且当 时， ， 所以 在 上单调递增， 故 ，因此 . 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值