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2016-2017学年江西省九江市七校联考高二（上）第一次段考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0
3．在△ABC中，已知2asinA+csinC=bsinB，则∠B为（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．不能
4．求和： +++…+=（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定
6．在正项数列{an}中，a1=2，且点（，）在直线x﹣y=0上，则前n项和Sn等于（ ）
A．2n﹣1 B．2n+1﹣2 C． D．
7．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ）
A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°
8．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则不等式≥6的解为（ ）
A． B． C． D．
9．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
10．若当x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）4x﹣2x﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，4）
11．等差数列{an}的前5项的和为30，前10项的和为100，则它的前15的和为（ ）
A．30 B．170 C．210 D．260
12．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（ ）
A．S6 B．S5 C．S4 D．S3
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是 ．
14．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为 ．
15．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则= ．
16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN= m．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解不等式：
（1）（x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0；
（2）＜0．
18．已知数列{an}中，a1=1，前n项和
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
19．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
20．已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．
（1）令cn=，求数列{cn}的通项公式；
（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．
21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
22．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1， =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．
2016-2017学年江西省九江市七校联考高二（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】根据所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，由此写出此数列的一个通项公式．
【解答】解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，
故此数列的一个通项公式是．
故选B．
2．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．
【分析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；
B、当c=0时，显然不成立；
C、当c=0时，显然不成立；
D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．
【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；
B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；
C、c=0时， =0，本选项不一定成立；
D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，
又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，
故选D
3．在△ABC中，已知2asinA+csinC=bsinB，则∠B为（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．不能
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理和余弦定理判断即可．
【解答】解：∵2asinA+csinC=bsinB，
∴2a2+c2=b2，
∴cosB==﹣＜0，
故B是钝角，
故选：A．
4．求和： +++…+=（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】因为，所以可由裂项相消法求和．
【解答】解：∵，
∴…
=（1）+（）+（）+…+（）
=1=
故选A
5．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（ ）
A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定
【考点】正弦定理的应用；解三角形．
【分析】利用正弦定理和已知的两边，一角求得sinB的值大于1推断出sinB不符合题意，三角形无解．
【解答】解：由正弦定理可知=
∴sinB=•b=×4=＞1，不符合题意．
故方程无解．
故选A
6．在正项数列{an}中，a1=2，且点（，）在直线x﹣y=0上，则前n项和Sn等于（ ）
A．2n﹣1 B．2n+1﹣2 C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】把点的坐标代入直线方程，求出an与an+1的关系，判断数列的特征，即可求解前n项和．
【解答】解：因为点（，）在直线x﹣y=0上，
所以﹣×=0，即an=2an﹣1，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
它的前n项和为：Sn==2n+1﹣2．
故选B．
7．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ）
A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°
【考点】正弦定理的应用．
【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A
【解答】解：∵b=2asinB，
由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB
∵sinB≠0
∴sinA=
∴A=30°或150°
故选D
8．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则不等式≥6的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】根据一元二次方程与一元二不等式的关系求出a，b的值，带入再求解不等式≥6的解．
【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），
可得：一元二次方程ax2+bx+2=0的根：，，
由韦达定理：可得：，
解得：a=﹣12，b=﹣2．
∴不等式≥6化简得：等价于（4﹣3x）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0，
解得：．
故选：B．
9．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故选B
10．若当x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）4x﹣2x﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，4）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】分离参数得m﹣m2＞﹣（）x﹣（）x，令g（x）=﹣（）x﹣（）x，设t=（）x，（t≥2），则函数变为y=﹣t2﹣t，其对称轴为t=﹣，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵当x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）4x﹣2x﹣1＜0恒成立，
∴分离参数得m﹣m2＞﹣（）x﹣（）x，令g（x）=﹣（）x﹣（）x，
设t=（）x，（t≥2），则函数变为y=﹣t2﹣t，其对称轴为t=﹣
∴y=﹣t2﹣t在[2，+∞）上是减函数
∴t=2时，函数有最大值﹣6，
∴m﹣m2＞﹣6，解得﹣2＜m＜3，
故实数m的取值范围是（﹣2，3）．
故选：A．
11．等差数列{an}的前5项的和为30，前10项的和为100，则它的前15的和为（ ）
A．30 B．170 C．210 D．260
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可得S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等差数列，代入数据解之可得．
【解答】解：由题意可得前5项的和S5=30，
第二个5项和S10﹣S5=100﹣30=70，
又S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等差数列，
故2（S10﹣S5）=S5+（S15﹣S10），
代入数据可得2×70=30+S15﹣100，
解之可得S15=210
故选C
12．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（ ）
A．S6 B．S5 C．S4 D．S3
【考点】数列的求和．
【分析】由已知，探求{an}的性质，再去研究数列{bn}的性质，继而解决Sn中最大值．
【解答】解：由已知当n=1时，a1=T1=，当n≥2时，an==，n=1时也适合上式，
数列{an}的通项公式为an=∴bn=log2an=14﹣4n，数列{bn}是以10为首项，以﹣4为公差的等差数列．
=﹣2n2+12n=﹣2[（n﹣3）2﹣9]，当n=3时取得最大值．
故选D
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤0 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】当a=0时，得到f（x）的值为﹣1小于0，f（x）小于0成立；当a不为0时，f（x）为二次函数，要使f（x）在R上满足f（x）＜0恒成立，则其图象必须为开口向下，且与x轴没有交点的抛物线，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，综上，得到满足题意的a的范围．
【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣1＜0成立；
当a≠0时，f（x）为二次函数，
∵在R上满足f（x）＜0，
∴二次函数的图象开口向下，且与x轴没有交点，
即a＜0，△=a2+4a＜0，
解得：﹣4＜a＜0，
综上，a的取值范围是﹣4＜a≤0．
故答案为：﹣4＜a≤0
14．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为 3 ．
【考点】等比关系的确定．
【分析】把已知条件a3=2S2+1，a4=2S3+1相减整理可得，a4=3a3，利用等比数列的通项公式可求得答案．
【解答】解：∵a3=2S2+1，a4=2S3+1
两式相减可得，a4﹣a3=2（S3﹣S2）=2a3
整理可得，a4=3a3
利用等比数列的通项公式可得，a1q3=3a1q2，
a1≠0，q≠0所以，q=3
故答案为：3
15．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则= ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•an，我们可得，，则=，代入若=，即可得到答案．
【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•an，
∴，，
则=，
又∵=，
∴=
即=
故答案为：
16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN= 150 m．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．
【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．
在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，
由正弦定理得，，因此AM=100m．
在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由
得MN=100×=150m．
故答案为：150．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解不等式：
（1）（x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0；
（2）＜0．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）对于不等式 （x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0，用穿根法求得它的解集．
（2）对于不等式＜0，用穿根法求得它的解集．
【解答】解：（1）对于不等式 （x+1）2（x﹣1）（x﹣2）3≤0，用穿根法求得它的解集为{x|1≤x≤2或x=﹣1}．
（2）对于不等式＜0，用穿根法求得它的解集为）{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜2或x＜﹣4}．
18．已知数列{an}中，a1=1，前n项和
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；
（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．
【解答】解：（1）数列{an}中，a1=1，前n项和，
可知，得3（a1+a2）=4a2，
解得a2=3a1=3，由，
得3（a1+a2+a3）=5a3，
解得a3==6．
（2）由题意知a1=1，
当n＞1时，有an=sn﹣sn﹣1=，
整理得，
于是a1=1，
a2=a1，
a3=a2，
…，
an﹣1=an﹣2，
，
将以上n个式子两端分别相乘，
整理得：．
综上{an}的通项公式为
19．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
20．已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．
（1）令cn=，求数列{cn}的通项公式；
（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；
（2）用错位相减法来求和．
【解答】解：（1）∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，
∴cn﹣cn+1+2=0，
∴cn+1﹣cn=2，
∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，
∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴cn=2n﹣1；
（2）∵bn=3n﹣1，cn=，
∴an=（2n﹣1）•3n﹣1，
∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，
∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，
∴﹣2Sn=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，
∴Sn=（n﹣1）3n+1．
21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．
【解答】解：（I）在Rt△PBC中， =，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．
∴PA=．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得，即，
化为．∴．
22．设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1， =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用=an+1﹣n2﹣n﹣，代入计算，即可求a2的值；
（2）再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（3）分类讨论，证明当n≥3时，n2＞（n﹣1）•（n+1），可得＜，利用裂项法求和，可得结论．
【解答】（1）解：∵ =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N．
∴当n=1时，2a1=2S1=a2﹣﹣1﹣=a2﹣2．
又a1=1，∴a2=4．
（2）解：∵ =an+1﹣n2﹣n﹣，n∈N．
∴2Sn=nan+1﹣n3﹣n2﹣n
=nan+1﹣，①
∴当n≥2时，2Sn﹣1=（n﹣1）an﹣，②
由①﹣②，得2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），
∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1，∴2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），
∴﹣=1，∴数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列．
∴=1+1×（n﹣1）=n，∴an=n2（n≥2），
当n=1时，上式显然成立．∴an=n2，n∈N*．
（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N*，
①当n=1时， =1＜，∴原不等式成立．
②当n=2时， +=1+＜，∴原不等式成立．
③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），
∴＜，
∴++…+＜1+++…++
=1+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）
=1+（﹣﹣）＜，
∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．
综上，对一切正整数n，有++…+＜．