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- 2021-04-20 发布
2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】第十二章 概率与统计
第03节 几何概型
【考纲解读】
考 点
考纲内容
五年统计
分析预测
几何概型
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2.了解几何概型的意义． ．
2015课标2
2016课标1
2017课标2
抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷．
备考重点：
传统文化中的几何概率模型
【知识清单】
1.几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
对点练习
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
【答案】A
【解析】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，所以A错。几何概型和古典概型相同点都是每个结果等可能出现，区别是几何概型的结果是无限，古典概型的结果是有限的。选A.
2.几何概型的计算公式
P(A)＝.
【2018陕西西安西北工业大学附属中学模拟】已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线下方的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】概率是 ,选A.
【考点深度剖析】
预测2016年高考，仍将以几何概型的概率计算为载体，在知识交汇处命题，体现对学生双基的考查，难度不大.
【重点难点突破】
考点:几何概型
【1-1】【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【1-2】【2017江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 ▲ .
【答案】
【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是.
【1-3】【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形为正方形， 为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接， ，则向多边形中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正方形的边长为1，
， ，
所以概率为，故选A。
【1-4】【2018河南漯河中学三模】在不等式组表示的平面区域内任取一个点，则 的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以概率为，故选C。
【1-5】【湖南株洲两校联考】在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
不等式组所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为
点恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为
点恰好落在第二象限的概率为
故答案选
【1-6】如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
【答案】
【解析】如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.
【领悟技法】
1．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．
2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
3.与体积有关的几何概型求法的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
【触类旁通】
【变式一】如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆的半径为，故选C．
【变式二】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）.
A. B.C. D.
[答案]B
三、易错试题常警惕
易错典例：已知△ABC中，∠ABC=600，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为______________.
易错分析：基本事件对应的区域测度把握不准导致错误，本题学生易看成角度比出错．
温馨提醒：利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．
易错点(1)不能正确判断事件是几何概型还是古典概型导致错误．(2) 基本事件对应的区域测度把握不准导致错误. (3)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能的导致错误．