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- 2021-04-20 发布
2017-2018学年广西柳州二中高二（上）期中数学试卷（理科）
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x∈Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}，B={x|y=}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{0，e} C．（0，e] D．（1，2）
2．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
3．（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
4．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
6．（5分）同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）数列{an}的通项公式为an=cos，n∈N*，其前n项和为Sn，则S2017=（ ）
A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．0
10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：
①；④loga＞logb．则其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且||=2，||=4，若=
，且，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．0 D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是 ．
14．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
15．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有 ．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= ．
三.解答题：共6大题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）在三角形ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：acosB+bcosA=2ccosC
（1）若a=8，c=7，求b；
（2）若S△ABC=3，求c的最小值．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，DF=2BE，BE∥DF，FC=AF=2．
（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；
（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．
20．（12分）已知向量，，，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
21．（12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45，75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：
分组
[25，35）
[35，45）
[4，55）
[55，65）
[65，75）
[75，85）
[85，95）
甲厂频数
10
40
115
165
120
45
5
乙厂频数
5
60
110
160
90
70
5
（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？
（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s2=142，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差s2=162，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2
近似为样本方差s2，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？
附注：
参考数据：≈11.92，≈12.73
参考公式：k2=
P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974．
P（k2≥k）
0.05
0.01
0.001
h
3.841
6.635
10.828
22．（12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？
2017-2018学年广西柳州二中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x∈Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}，B={x|y=}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{0，e} C．（0，e] D．（1，2）
【分析】运用二次不等式的解法，化简集合A，由1﹣lnx≥0，解不等式可得集合B，再由交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：集合A={x∈Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}={x∈Z|﹣＜x＜4}={﹣1，0，1，2，3}，
B={x|y=}={x|1﹣lnx≥0}={x|0＜x≤e}，
则A∩B={1，2}，
故选A．
【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用二次不等式的解法和函数的定义域的求法，考查运算能力，属于中档题．
2．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．
【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得═8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
3．（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】由已知条件对|+|=两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出．
【解答】解：根据条件，=；
∴解得，或﹣1（舍去）．
故选：C．
【点评】考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程，知道．
4．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）
圆心到直线y=k（x+3）的距离为
要使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．
【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；
含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；
含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；
含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
6．（5分）同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，求解出ω和φ，考查在上是增函数；一个对称中心为可得答案．
【解答】解：由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；
②图象关于直线x=对称；可得：+φ=，k∈Z．
对于D选项：φ=﹣，不满足，排除D；
④一个对称中心为”带入函数y中，B选项不满足．排除B；
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，同时满足题意的函数很多，所以利用排除法解决比较好．属于基础题．
7．（5分）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；
第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；
第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；
…
第N次执行循环体，k=N，p=ANN，满足继续循环的条件，k=N+1；
第N+1次执行循环体，k=N+1，p=AN+1N+1，不满足继续循环的条件，
故输出的p值为AN+1N+1，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8．（5分）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．
【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，
由图可知，R2=R2+r2，
∴R2=r2，∴S球=4πR2，
截面圆M的面积为：πr2=，
则所得截面的面积与球的表面积的比为：：4πR2=．
故选：D．
【点评】本题是中档题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．
9．（5分）数列{an}的通项公式为an=cos，n∈N*，其前n项和为Sn，则S2017=（ ）
A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．0
【分析】由三角函数性质得数列{an}是以4为周期的周期数列，由此利用S2017=504（a1+a2+a3+a4）+a1，能求出结果．
【解答】解：∵an=cos，n∈N*，
∴a1=cos=0，
a2=cosπ=﹣1，
a3=cos=0，
a4=cos2π=1，
数列{an}是以4为周期的周期数列，
∴S2017=504（a1+a2+a3+a4）+a1=504（0﹣1+0+1）+0=0．
故选：D．
【点评】本题考查数列的前2017项和的求法，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列{an}是以4为周期的周期数列，属于中档题
10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：
①；④loga＞logb．则其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：由0＜a＜b＜1，知：
在①中，（）a＞（）b＞（）b，故①正确；
在②中，当a=，b=时，=，=，此时＜，故②错误；
在③中，＞loga＞b，故③正确；
在④中，当a=，b=时，loga=＜logb=1．故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．
∴=
∴π=．
【点评】
古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且||=2，||=4，若=，且，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【分析】用表示出，再令=0解出λ的值．
【解答】解：∵，∴•=0，
即（）•（﹣）=0，
∴λ+（1﹣λ）﹣=0，
∵=2×4×cos60°=4，=4，=16，
∴16λ+4（1﹣λ）﹣4=0，
∴λ=0．
故选C．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是 ﹣1 ．
【分析】画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，分别代入目标函数，比照后可得最优解．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：
∵z=2x+y
故当x=0，y=﹣1时，z=2x+y的最大值是﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握．
14．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．
【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，
基本事件总数为n=6×6=36，
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，
∴出现向上的点数之和小于10的概率：
p=1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
15．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有 60种 ．
【分析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共走7次，由此利用排列数和组合数公式能求出小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线种数．
【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，
∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共走7次，
∵不能连向上，∴选项把不向上的次数排列起来，也就是2次向左和2次向前全排列，有种排法，
∵2次向左是没有顺序的，∴还要除以，
同理，2次向前也是没有顺序的，再除以，
接下来，就是把3次向上插入到4次不向一的空当中，5个位置排3个元素，有种排法，
∴小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有：=60种．
故答案为：60种．
【点评】
本题考查行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线种数的求法，考查排列数、组合数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= 4 ．
【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，
∴=3，
∴m=﹣
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|==4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
三.解答题：共6大题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列及S5=20列式求得首项和公差，则数列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列，得
，即，
得，
∵d≠0，∴a1=2d，①
∵，得a1+2d=4，②
联立①②得：a1=2，d=1，
∴an=2+（n﹣1）×1=n+1；
（Ⅱ）∵bn==，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
=．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
18．（12分）在三角形ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：acosB+bcosA=2ccosC
（1）若a=8，c=7，求b；
（2）若S△ABC=3，求c的最小值．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，即可求得b的值；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理，
利用基本不等式求得c的最小值．
【解答】解：（1）△ABC中，由acosB+bcosA=2ccosC，
得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，…（1分）
即sin（A+B）=2sinCcosC，…（2分）
又A+B=π﹣C，
∴sin（A+B）=sinC；…（3分）
又0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴cosC=，C=；…（4分）
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，
即49=64+b2﹣2×8×b×cos；…（5分）
化简得b2﹣8b+15=0，解得b=3或b=5；…（7分）
（2）由S△ABC=absinC=3，得ab=12；…（9分）
又 c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab=12，…（11分）
∴c≥2，
∴c的最小值为．…（12分）
【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与基本不等式的应用问题，是中档题．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，DF=2BE，BE∥DF，FC=AF=2．
（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；
（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．
【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，FD∥BE，得平面BCF∥平面ADF，由此能证明EC∥平面ADF．
（Ⅱ）推导出DF⊥DC，DF⊥DA，从而DF⊥平面ABCD，进而DF⊥AC，再求出DB⊥AC，从而AC⊥平面BDFE，由此能证明平面ACE⊥平面BDFE．
解：（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，S△OFE=S四边形BDFE﹣S△OBE﹣S△ODF=，由，能求出F到平面ACE的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，FD∥BE，AD∩FD=D，BE∩BC=B，
∴平面BCF∥平面ADF，
∵EC⊂平面BEC，∴EC∥平面ADF．…（4分）
（Ⅱ）∵FC=2，DC=DF=2，∴FC2=DC2+DF2，
∴DF⊥DC，同理DF⊥DA，
∴DF⊥平面ABCD，∴DF⊥AC，
又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，BD∩DF=D，
∴AC⊥平面BDFE，
∵AC⊂平面AEC，
∴平面ACE⊥平面BDFE．…（8分）
解：（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，
由（Ⅱ）可知，四边形BDFE是直角梯形，
S△OFE=S四边形BDFE﹣S△OBE﹣S△ODF
==，
又∵AO⊥平面BDEF，∴=，
又在△OBE中，OE==，，
∴VF﹣OEA==，，
∴h=，即F到平面ACE的距离为．…（12分）
【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20．（12分）已知向量，，
，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过A的范围求解A即可．
（2）化简函数的解析式，利用配方法结合二次函数的闭区间上的最值求解即可．
【解答】（12分）解：（1）由题意向量，得，=sinA﹣cosA=1，
2sin（A﹣）=1，sin（A﹣）=．
由A为锐角得A﹣=，A=．
（2）由（1）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=﹣2（sinx﹣）2+．
因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值，
当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，
所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角函数化简取值，考查计算能力．
21．（12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45，75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：
分组
[25，35）
[35，45）
[4，55）
[55，65）
[65，75）
[75，85）
[85，95）
甲厂频数
10
40
115
165
120
45
5
乙厂频数
5
60
110
160
90
70
5
（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？
（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s2=142，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差s2=162，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？
附注：
参考数据：≈11.92，≈12.73
参考公式：k2=
P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974．
P（k2≥k）
0.05
0.01
0.001
h
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）根据统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；
（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；
（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值X～N（60，142），计算对应的概率值即可．
【解答】解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表，如下；
甲 厂
乙 厂
合计
优质品
400
360
760
非优质品
100
140
240
合计
500
500
1000
计算K2=≈8.772＞6.635，
对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；
（2）计算甲厂优秀率为=0.8，乙厂优秀率为=0.72
所以甲厂的优秀品率高，
计算甲厂数据的平均值为：
=×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）
=60，
（3）根据（2）知，μ=60，σ2=142，且甲厂产品的质量指标值X服从正态分布X～N（60，142），
又σ=≈11.92，则P（60﹣11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，
P（X＞71.92）===0.1587＜0.18，
故不能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%．
【点评】本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力．
22．（12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？
【分析】（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，可得恰含有病毒的概率为×．第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为×．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．
【解答】解：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：
第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，
则恰含有病毒的概率为×=．
第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，
恰第一个样品含有病毒的概率为×=．
∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为=．
（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，
P（ξ=1）=P（η=10）=，
P（ξ=2）=P（η=18）=×=，
P（ξ=3）=P（η=24）=×=，
P（ξ=4）=P（η=30）==，
P（ξ=5）=P（η=36）==，
∴方案甲所需化验费用η的分布列为：
η
10
18
24
30
36
P
用方案甲平均需要化验费E（η）=++24×+30×+36×=（元）．
【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．