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- 2021-04-20 发布
大庆市第十中学2016-2017年度第二学期期末考试
高二数学（文科）试卷
一、 选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.集合{y∈N|y=-x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.已知a∈R，则“”是“指数函数y=ax在R上为减函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中，下列说法中正确的是（ ）
A.r越大，两变量的线性相关性越强 B.R2越大，两变量的线性相关性越强
C.r的取值范围为（-∞，+∞） D.R2的取值范围为[0，+∞）
4.若复数不是纯虚数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.若，则等于（）
A. B. C. D.
6.已知程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入
（ ）
A.k≤10 B.k≤9
C.k＜10 D.k＜9
7.要得到函数y=sin（2x+1）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ）
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
8.下列函数在点x=0处没有切线的是（ ）
A.y=3x2+cosx B.y=xsinx C. D.
9.已知函数f（x）=mx2-mx-1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则m的范围为（ ）
A.（-4，0） B.（-4，0]
C.（-∞，-4）∪（0，+∞） D.（-∞，-4）∪[0，+∞）
10.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
11.已知函数，g（x）=ax，则方程g（x）=f（x）恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e为自然对数的底数）
A. B.C. D.
12.设是定义在实数集R上的函数，且是偶函数，当时，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.函数零点的个数为 ______ ．
14.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了50名学生，得到如下2×2的列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
附：
P（2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
根据表中数据，得到，则认为选修文理科与性别有关系的可能性不低于 ______ ．
15.函数的最大值是 ______ ．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程(t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为 ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（ I）求∠C的大小；
（II）求的最小值．
18.（1）计算
（2）已知，求的值．
19.已知函数f（x）=ax2-2ax+2+a（a＜0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值1．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上单调，求数m的取值范围．
20.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计数据，由资料显示y对x呈线性相关关系．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
．
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10年时，维修费用是多少？
21.已知函数f（x）=x2（x-3a）+1（a＞0，x∈R）
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若在区间（0，+∞）上存在实数x0，使得不等式f（x0）-4a3≤0能成立，求实数a的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
111
答案和解析
【答案】
1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A
13.4
14.95%
15.
16.
17.解：（I）由正弦定理，得 ，．
所以，，即．
∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC．
∴2cosC=，cosC=
∵C∈（0，π），∴C=．
（II）∵A+B+C=π∴A+B=
∴sinB-sinA=sin（）-sinA==cos（A+），
∵A+B=，∴A，∴A+
∴cos（A+）最小值为-1．即sinB-sinA的最小值为-1．
18.解：（1）2.81（传题老师说网上答案都是错误的，2.81为正确答案）；
（2）∵，
∴．
∴=．
19.解：（1）因为函数的图象是抛物线，a＜0，
所以开口向下，对称轴是直线x=1，
所以函数f（x）在[2，3]单调递减，
所以当x=2时，ymax=f（2）=2+a=1，
∴a=-1-----------------------（5分）
（2）因为a=-1，∴f（x）=-x2+2x+1，
所以g（x）=f（x）-mx=-x2+（2-m）x+1， ，
∵g（x）在[2，4]上单调，
∴，
从而m≤-6，或m≥-2
所以，m的取值范围是（-∞，-6]∪[-2，+∞）----------------------------------------------------（10分），
20.解：（1）∵根据所给的数据可以得到=3×5=66.5-------（2分） ==4.5-------（3分） ==3.5-------（4分） =32+42+52+62
=86-------（5分）
∴-------（8分） -------（10分）
故线性回归方程为y=0.7x+0.35-------（11分）
（2）当x=10（年）时，维修费用是 0.7×10+0.35=7.35 （万元）-------13分
所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时，预报维修费用是7.35 （万元）-------14分
21.解：（1）f（x）=x2（x-3a）+1，求导f'（x）=3x（x-2a），令f'（x）=0，解得x=0或x=2a．
f（0）=1，f（2a）=-4a3+1．
当a＞0时，2a＞0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（-∞，0）
0
（0，2a）
2a
（2a，+∞）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
1
↘
-4a3+1
↗
∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值f（0）=1；在x=2a处，函数f（x）有极小值f（2a）=-4a3+1．
（2）在（0，2）上单调递减，∴2a≥2，即a≥1，
实数a的取值范围[1，+∞）；
（3）依题意在区间（0，+∞）上存在实数x0，得使得不等式f（x0）-4a3≤0能成立，则4a3≥f（x0）在（0，+∞）上成立，
∴4a3≥f（x）min，由（1）可知：f（x）的最小值为：-4a3+1，
∴4a3≥-4a3+1，则8a3≥1，
解得：a≥，
∴实数a的取值范围[，+∞）．
22.解；（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，
把代入可得：=0，
由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，化为x2+y2-4x=0．
（2）联立，解得或，
∴直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为，．
【解析】
1. 解：x=0时，y=6；
x=1时，y=5；
x=2时，y=2；
x=3时，y=-3；
∵函数y=-x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；
∴x≥3时，y＜0；
∴{y∈N|y=-x2+6，x∈N}={2，5，6}；
∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；
∴该集合的真子集个数为7．
故选：C．
根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x=0，y=6；x=1，y=5；x=2，y=2；x=3，y=-3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y=-x2+6，x∈N}={2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．
考查描述法表示集合，自然数集N，以及真子集的概念．
2. 解：由≤0的a（a-1）≤0且a-1≠0，解得0≤a＜1，
若指数函数y=ax在R上为减函数，则0＜a＜1，
∴“≤0”是“指数函数y=ax在R上为减函数”的必要不充分条件．
故选：B．
结合不等式的解法和指数函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
主要是考查了充分条件的判定的运用，利用不等式的解法和指数函数的单调性是解决本题的关键．
3. 解：根据题意，依次分析4个选项：
对于A、相关系数的绝对值|r|越大，越具有强大相关性，故A错误；
对于B、个变量y与x之间的R2越大，两变量的线性相关性越强，B正确；
对于C、r的取值范围为（-1，1），故C错误；
对于D、R2的取值范围为[0，1]，故D错误；
故选：B．
根据题意，由两个变量的相关系数r与相关指数R2的意义，依次分析选项，即可得答案．
本题考查两个变量的相关系数r与相关指数R2的意义，注意区分相关系数r与相关指数R2的不同．
4. 解：∵当复数（a2-a-2）+（|a-1|-1）i是纯虚数，
∴a2-a-2=0且|a-1|-1≠0∴a=2，a=-1，且a≠0，a≠2，
∴a=-1，
∴复数（a2-a-2）+（|a-1|-1）i（a∈R）不是纯虚数时，a≠-1，
故选C．
首先做出复数是纯虚数时的a的值，即使得复数的实部为0，虚部不为0，得到a的值，当复数不是纯虚数时，只要使a不等于前面做出的a的值即可．
本题考查复数的概念，考查一个复数不是纯虚数，这种题目要求并不多见，但本题是一个基础题，解题时细节较多，注意运算不要出错．
5. 解：∵=cos（α+）=cos[]=sin（）=
故选D
由二倍角公式及诱导公式可得，=cos（α+），结合已知及诱导公式可求
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础试题
6. 解：按照程序框图依次执行：k=12，s=1；进入循环，
s=1×12=12，k=11；s=12×11=132，k=10，跳出循环，
故k=10满足判断框内的条件，而k=11不满足，
故判断框内的条件应为k≤10或k＜11故选A
按照程序框图依次执行，直到s=132，求出此时的k，进一步确定判断框内的条件即可．
本题考查循环结构的程序框图，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决问题的关键．
7. 解：根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位
可得函数y=sin2（x+）的图象，由于y=sin2（x+）=sin（2x+1）
故只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+1）的图象，
故选C．
根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+1）的图象．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．
8. 解：∵在x=0处不可导．
故选D．
根据导数的定义可得答案．
本题主要考查导数的定义．属基础题．
9. 解：当m=0时，代入得f（x）=-1＜0恒成立；
当m≠0时，由f（x）＜0恒成立，
得到m＜0，且△=（-m）2-4×m（-1）=m2+4m＜0，
即m（m+4）＜0，
可化为：或，
解得：-4＜m＜0，
综上，m的取值范围为（-4，0]．
故选B
当m=0时，代入f（x）中求出函数值为-1小于0恒成立；当m不为0时，f（x）为二次函数，根据f（x）小于0恒成立得到其抛物线开口向下，且与x轴没有交点，即m小于0，且根的判别式小于0，列出关于m的不等式，根据m与m+4异号，转化为两个不等式组，求出不等式组的解集即可得到m的取值范围，综上，得到满足题意的m的范围．
此题考查了二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．
10. 解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，
59是从3开始的第29个奇数
当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个
当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个
故m=8故选C
由题意知，n的三次方就是n
个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是59时，m的值．
本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．
11. 解：作出f（x）与g（x）的函数图象，如图所示：
设直线y=ax与y=lnx相切，切点坐标为（x0，y0），
则，解得x0=e，y0=1，a=．
由图象可知当≤a＜时，两图象有2个交点，
故选B．
作出f（x）与g（x）的函数图象，根据图象和交点个数判断a的范围．
本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．
12. 解：∵y=f（x+1）是偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），
即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，f（x）=2x-1为增函数，
∴当x≤1时函数f（x）为减函数．
∵f（）=f（+1）=f（-+1）=f（），且＜＜，
∴f（）＞f（）＞f（），
故选：A．
根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．
13. 解：函数f（x）=cosx-|lgx|的零点，即方程cosx=|lgx|的实数根
同一坐标系里作出y1=cosx和y2=|lgx|的图象
∵当0＜x≤10时，y2=|lgx|=lgx≤1，y2的图象与y1=cosx的图象有4个交点；
当x＞10时，y1=cosx≤1而y2=|lgx|=lgx＞1，两图象没有公共点
因此，函数y1=cosx和y2=|lgx|的图象交点个数为4，即f（x）=cosx-|lgx|的零点有4个
故答案为：4同一坐标系里作出y1=cosx和y2=|lgx|的图象，经讨论可得当x＞0时，y1=cosx和y2=|lgx|的图象有4个交点，由此可得函数f（x）=cosx-|lgx|零点的个数．
本题求函数f（x）=cosx-|lgx|零点的个数，着重考查了余弦函数、对数函数的图象和函数的简单性质等知识，属于基础题．
14. 解：根据表中数据，得到＞3.841，
对照临界值得，认为选修文理科与性别有关系的可能性不低于95%．
故答案为：95%．
根据表中数据的观测值，对照临界值即可得出结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
15. 解：令t=sinx+cosx=则
∴sinxcosx=
∴y==（）
对称轴t=-1∴当t=时，y有最大值
故答案为
利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．
本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．
16. 解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2-10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，-6），
∴|AB|==8．
故答案为：8．
直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
17.
（I）由正弦定理，得 ．即cosC=，可得C=．
（II）sinB-sinA=sin（）-sinA=cos（A+）
由A+B=，得A+，cos（A+）最小值为-1．即可得sinB-sinA的最小值
本题考查了三角恒等变形、正余弦定理的应用，属于中档题．
18.
（1）直接由对数的运算性质计算得答案；
（2）由已知，可得tanα，再利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系化简求值即可得答案．
本题考查了对数的运算性质，考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系的运用，是中档题．
19.
（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
20.
（1）根据所给的数据，做出利用最小二乘法需要的四个数据，横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预报出维修费用，这是一个估计值．
本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
21.
（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，即可求得函数y=f（x）的极值；
（2）由（1）可知：函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，则2a≥2，即可求得a的取值范围；
（3）由题意可知：-4a3≥f（x）min在（0，+∞）上恒成立，由（1）可知：f（x）的最小值为：-4a3+1，即可求得实数a的取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的单调性及极值，考查不等式恒成立，考查转化思想，属于中档题．
22.
（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，把代入即可得出，由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，代入化为直角坐标方程．
（2）联立，解出再化为极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为．
本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、直线与曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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