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- 2021-04-20 发布
安徽省安庆市第一中学2018—2019学年第一学期期中考试
高二数学（文）试题
一、选择题（共60题，每题5分。每题仅有一个正确选项。）
1.下列说法正确的是 ( )
A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
2.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
3.已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系
A.可能是平行直线 B.一定是异面直线
C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能
4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）
A． B． C． D．
5.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥，则（ ）
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
6．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关
7．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为( )
A．y＝2x＋5 B．y＝2x＋3 C．y＝3x＋5 D．y＝－x＋
8.是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( )
A.是平面内两条直线，且 B.内不共线的三点到的距离相等
C.都垂直于平面 D.是两条异面直线，，且
9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
新工件的体积/原工件的体积）（ ）
A、 B、 C、 D、
10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
11.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值是（ ）
A.2 B. C. D.
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共20分，每题5分）
13.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.
14. 四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)
16．如果三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面上的射影是△的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
① 正三棱锥所有棱长都相等；
② 正三棱锥至少有一组对棱（如棱与）不垂直；
③ 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④ 若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于．
⑤ 若正三棱锥的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为，过点的平面分别交侧棱，于．则△周长的最小值等于．
以上结论正确的是 （写出所有正确命题的序号）．
三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）
17（10分）.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，分别是的中点．求证：
（1）直线∥平面；
（2）平面⊥平面.
18（12分）.如图，在三棱锥中，，， ，，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求点C到平面距离.
19(12分).已知点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程．
20（12分）．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．
21（12分）.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1．过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G.
（１）证明：AD∥平面EFGH；
（２）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值.
22（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F
（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
2018—2019学年第一学期期中考试
高二数学试题（文）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1、 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2、 选择题答案请用2B铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。
3、 考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（共60题，每题5分。每题仅有一个正确选项。）
1.下列说法正确的是 (B )
A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
2.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 (C )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
3.已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系
A.可能是平行直线 B.一定是异面直线
C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能
答案 C
4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）
A． B． C． D．
C
5.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥，则（ ）
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【答案】C
6．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关
B
7．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为( )
A．y＝2x＋5 B．y＝2x＋3 C．y＝3x＋5 D．y＝－x＋
答案：A
8.是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( )
A.是平面内两条直线，且 B.内不共线的三点到的距离相等
C.都垂直于平面 D.是两条异面直线，，且
D
9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
11.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值是（ ）
A.2 B. C. D.
D
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2=（ C ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（共20分，每题5分）
13.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.
答案 (－∞，－)∪(0，＋∞)
14. 四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
解析： 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点
使得，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．在中，
，故．设球的半径为，则
中，，，即点E即为球心，
故这个球的体积
15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)
答案：3
解析：本题考查圆台的体积公式．做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF＝14(单位寸，下同)，OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是OF中点，所以GE为梯形的中位线，所以GE＝＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π＋36π＋)＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以＝3，即平地降雨量是3寸．
16．如果三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面上的射影是△的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
① 正三棱锥所有棱长都相等；
② 正三棱锥至少有一组对棱（如棱与）不垂直；
③ 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④ 若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于．
⑤ 若正三棱锥的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为，过点的平面分别交侧棱，于．则△周长的最小值等于．
以上结论正确的是 ▲ （写出所有正确命题的序号）．
答案：③，④，⑤
三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）
17（10分）.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，分别是的中点．求证：
（1）直线∥平面；
（2）平面⊥平面.
解析：（1）如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，
所以EF∥PD.
又因为平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
（2）连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAD.
18（12分）.如图，在三棱锥中，，，，，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求点C到平面距离.
18.解：（1）过作交于一点，
，
.
在中，，，则，.
面积.
四面体体积.
（2）在中，连接.则,.
，.
在中，，，，
，.
.
设点到平面距离为，由等体积法可知.
.
.从而.
点到平面距离为.
19(本题满分12分)已知点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程．
解：设点P的坐标为(x，y)，由题设有＝，
即＝·，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.①
因为点N到PM的距离为1，|MN|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，
直线PM的方程为y＝±(x＋1)．②
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0，
解得x＝2±，代入②式得点P的坐标为(2＋，1＋)或(2－，－1＋)或(2＋，－1－)或(2－，1－)，
∴直线PN的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
20（12分）．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．
20证明：（１）取AD的中点E，连接PE，EM，AC.
底面ABCD为菱形，
又 EM ∥AC，
又BD⊥PM，
则.
, 平面PAD⊥平面ABCD
（2）设, 由∠APD=90°，可得
由（1）知，则
，则
连接，可得
.
设三棱锥A﹣PBM的高为,则由,可得
即.
21（12分）.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1．过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G.
（１）证明：AD∥平面EFGH；
（２）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值.
（１）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥A1D1，
又因为EH∥A1D1，所以AD∥EH.
因为AD平面EFGH，EH平面EFGH，
则AD∥平面EFGH．
（２）解:设BC=b，则长方体ABCD-A1B1C1D的体积V=AB·AD·AA1=2a2b．
几何体EB1F-HC1C的体积V1=（EB1·B1F·B1C1）=EB1·B1F．
因为,
所以EB1·B1F.
当且仅当EB1=B1F=时等号成立．
从而V1≤.
故≥．
当且仅当EB1=B1F=时等号成立．
则p的最小值为．
22（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；
（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，
∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，
又E为D在平面PAB内的正投影，
∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，
∵PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，
则AB⊥PG，
又PA=PB，
∴G是AB的中点；
（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．
∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，
∴PB⊥PA，PB⊥PC，
又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，
即点F为E在平面PAC内的正投影．
连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．
由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．
在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．
所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．
【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．