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- 2021-04-20 发布
数学试题（文科）
说明：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．作答时务必将答案写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效.
3．全卷150分，考试时间为120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先移项，再结合十字相乘法即可求解
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题
2.若是假命题，则（ ）
A. 是真命题，是假命题 B. 均为假命题
C. 至少有一个是假命题 D. 至少有一个是真命题
【答案】C
【解析】
试题分析：当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.
考点： 命题真假的判断.
3.函数+e的导函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合导数公式求解即可
【详解】由，
故选：C
【点睛】本题考查导数公式的应用，需注意常数的导数为0，属于基础题
4.下列条件中,使“”成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据题意，先解出不等式组具体取值范围，再由充分不必要条件判断即可
【详解】，成立的充分不必要条件应该满足取值范围小于的范围，观察可知，A相符合
故选：A
【点睛】本题考查不等式组的解法，命题成立的充分不必要条件的判断，属于基础题
5.命题“对任意,都有”的否定为（ ）
A. 对任意,都有 B. 不存在,使得
C. 存在,使得 D. 存在,使得
【答案】D
【解析】
【分析】
对全称命题否定，应将全称改存在，再否定结论
【详解】命题“对任意,都有”的否定为：“存在,使得”
故选：D
【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题
6.在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
分析：利用正弦定理和三角形边角大小关系，即可求得答案.
详解：，，， ,
又由正弦定理，得
故选B.
点睛：本题考查了正弦定理和三角形的边角大小关系，考查推理能力与计算能力.
7.等比数列的公比,则等于（ ）
A. B. -3 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
通过观察，可将分母的每个数提出一个公比，再进行求解
【详解】
故选：C
【点睛】本题考等比数列性质的应用，属于基础题
8.椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆离心率求得的值，再根据双曲线离心率公式，求得双曲线的离心率.
【详解】根据椭圆离心率有，故，所以双曲线的离心率为，故选D.
【点睛】本小题主要考查椭圆离心率、双曲线离心率有关计算，属于基础题.
9.数列的前项和为，若，则等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简，利用裂项相消法可得结果.
【详解】因为，
所以，故选B．
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10.在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
11.已知正实数满足，则的最小值（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【详解】
，
当且仅当，即，时的最小值为3.
故选B.
点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
12.已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由表达式可判断原函数应为以构造函数，再结合导数特征即可求解
【详解】构造函数，则，在为增函数，则，即，
故选：A
【点睛】本题考查由导数形式判断原函数形式，由函数增减性判断不等式是否成立，属于中档题
二、填空题(本大题共4小题每小题5分，共20分)
13.已知，则取最小值是___．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，由基本不等式的性质可得22，即可得答案．
【详解】根据题意，x＞0，则22，
当且仅当x＝1时等号成立，
即最小值是2；
故答案为2．
【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．
14.已知点P在拋物线上,且点P到y轴的距离6,则点P到焦点的距离为________.
【答案】10
【解析】
【分析】
先求出焦点坐标，再结合抛物线第一定义即可求解
【详解】
如图，由可得焦点坐标为，则抛物线准线为，，则
故答案为：10
【点睛】本题考查抛物线的基本性质，属于基础题
15.函数在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】
，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
考点：：导数的几何意义.
16.对于曲线C：，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当14；
④若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则；
其中正确命题的序号为 ．
【答案】③④
【解析】
【详解】试题分析：若曲线表示椭圆需满足：，所以①②错误；若曲线是焦点在轴上的椭圆，则需满足，所以④正确；若曲线表示双曲线，则需满足，所以③正确，故答案为③④．
考点：椭圆、双曲线的标准方程．
【易错点晴】本题主要考查的是椭圆、双曲线的标准方程，属于易错题．解题时要注意椭圆中焦点在轴方程为，焦点在轴方程为，该题中要注意成为椭圆时的条件，曲线表示双曲线，则需满足．
三、解答题(共70分解答题写文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知分别是的三个内角所对的边.若面积求的值；
【答案】，
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理的面积公式可先求出，再结合余弦定理可求出
【详解】，所以，所以b=1
中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3,
所以a=
【点睛】本题考查正弦定理面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于基础题
18.设等差数列满足
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和及使得最小的序号n的值.
【答案】（1）（2）；当或6时，取得最小值-30
【解析】
【分析】
（1）由求出公差和首项，即可求解；
（2）列出前n项和公式，结合二次函数特点即可求解
【详解】（1）解：∵等差数列满足．
∴①
．②
由①②得，
∴
（2）解：的前n项和，由于取不到，∴当或6时，取得最小值-30
【点睛】本题考查等差数列通项公式，前n项和公式的求解，属于基础题
19.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：
（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；
（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.
【答案】（1）见解析; （2）18.
【解析】
（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.
当直线过点时，取得最大值，
所以.
即该企业每天可获得最大利润18万元.
20.在数列中，，，
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】（1）略（2）
【解析】
试题分析：（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，
②-①得.
试题解析：（1）∵，，又∵，∴，
，∴则是为首项为公差的等差数列；
由（1）得，∴，
∴①，
①得：②，
②-①得.
考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.
21.已知函数．
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ），令得，易知函数在上单调递增，而，所以函数在上最小值为；（Ⅱ）由题意知，分离参数得，构造函数，不等式成立问题转化为求函数h（x）的最大值，易证函数先减后增，通过计算可知，所以，当时，的最大值为，故．
试题解析：（Ⅰ）由，可得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以函数在上单调递增． 又，
所以函数在上的最小值为．
（Ⅱ）由题意知，则．
若存在使不等式成立，
只需小于或等于的最大值．
设，则．
当时，单调递减；当时，单调递增．
由，，，
可得．所以，当时，的最大值为．
故．
考点：1.导数与单调性；2.导数与最值；3.不等式恒成立问题
22.已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线,,把代入得
故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.