2019-2020学年浙江省宁波诺丁汉大学附中高二上学期期中考试数学试题（解析版） 20页

‎2019-2020学年浙江省宁波诺丁汉大学附中高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算直线的斜率，再根据解得答案.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为：‎ 倾斜角满足：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的倾斜角，属于基础题型.‎ ‎2．若满足约束条件，则的最大值等于（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 如图所示：画出可行域和目标函数 根据平移知：当目标函数通过点即时，有最大值为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了现行规划问题，作出可行域和目标函数是解题的关键.‎ ‎3．直线a与b垂直，b又垂直于平面，则与的位置关系是（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据直线和平面的位置关系得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线a与b垂直，b又垂直于平面，则与的位置关系是或.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和平面的位置关系，漏解是容易发生的错误.‎ ‎4．过三点A（1，-1），B（1,4），C（4，-2）的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆的一般方程为，将三点代入方程得到方程组，解得答案.‎ ‎【详解】‎ 设圆的一般方程为： ‎ 将三点代入方程得到方程组： ‎ 解得：，故圆方程为：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般方程，也可以利用垂直平分线求圆心的方法解答.‎ ‎5．已知直线x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k等于( )‎ A．－3 B．3‎ C．－6 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ 分析：由直线x+3y-7=0和kx-y-2=0与x轴、y轴所围成的四边形有外接圆，得到对角之和为180°，‎ 又∠AOB为90°，得到两直线的夹角为90°，即两直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，分别表示出两直线的斜率相乘等于-1列出关于k的方程，求出的解即可得到实数k的值．‎ 解：由图形可知：∠AOB=90°，‎ ‎∴直线x+3y-7=0和kx-y-2=0的夹角为90°即两直线垂直，‎ 又直线x+3y-7=0的斜率为-，直线kx-y-2=0的斜率为k，‎ 则-k=-1，解得k=3．‎ 故选C．‎ ‎6．不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点( )‎ A． B．(-2，0) C．(-2，3) D．(2，3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】将直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0，令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．‎ ‎【详解】‎ 直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0‎ 令，解得.‎ 故无论m为何实数，直线(m−1)x−y+2m+1=0恒通过一个定点(−2,3)‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎7．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=5，AB=3，AC=4，BC=5，则PA与平面ABC所成的角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：过P作PD⊥平面ABC，垂足为D，先证明D是BC的中点，∠PBC为PA与平面ABC所成的角，从而可得结论．‎ 解：过P作PD⊥平面ABC，垂足为D，‎ ‎∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB⊥AC ‎∵PA=PB=PC=，∴D是BC的中点 ‎∴∠PBC为PA与平面ABC所成的角 ‎∴PB=PC=BC，∴∠PBC=60°‎ 故选C．‎ 点评：本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．‎ ‎8．若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据直线和圆相切得到，计算得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线与圆相切 则 为锐角，则 ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎ ‎9．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，补成直四棱柱，‎ 则所求角为，‎ 易得，因此，故选C．‎ 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎ ‎10．正四面体A-BCD中，DA=2,保持BC在平面α内，正四面体A-BCD绕BC旋转过程中，正四面体A-BCD在平面α内的投影面积的最大值等于（ ）‎ A． B． C．4 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分为投影在同侧和投影在异侧两种情况求解，先证明得到，计算面积的最大值分别为和得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：为中点，易知：平面，故.‎ 设为在平面的投影，故 当投影在同侧时：正四面体A-BCD在平面α内的投影为三角形；‎ 或 当投影在异侧时：正四面体A-BCD在平面α内的投影为四边形；‎ 其中一组对边为，另一组对边为在平面的投影即.‎ ‎，当，即平面时等号成立.‎ 综上所述：面积的最大值为2.‎ 故选： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了投影面积的最大值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ 二、填空题 ‎11．直线和直线 互相平行，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用直线平行的公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线和直线 互相平行 则 当时，两直线重合，舍去 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的平行，没有考虑重合的情况是容易发生的错误.‎ ‎12．方程表示圆C中，则圆C面积的最小值等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将圆方程化为标准式，得到利用二次函数的最值得到半径，再计算面积得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，半径最小为，故面积为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆面积的最值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13．棱长为2的正方体中，E点是的中点，P点是正方体表面上一动点，若∥平面，则P点轨迹的长度等于___________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别为的中点，连接，证明平面平面，得到P点轨迹为四边形，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：分别为的中点，连接 ‎ 易知：且，故共面.‎ ‎，故平面平面 所以P点轨迹为四边形 ‎，故轨迹长度为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间轨迹的长度问题，先找出轨迹为再证明是解题的关键.‎ ‎14．直线 和圆相交于A,B两点.‎ ‎（1）若直线过圆心C，则______ ;‎ ‎（2）若三角形ABC是正三角形，则______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）将圆方程化为标准方程得到圆心为，代入直线方程计算得到答案.‎ ‎（2）根据ABC是正三角形得到圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），圆心为 代入直线方程得到： ‎ 故答案为：‎ ‎（2）三角形ABC是正三角形，则圆心到直线的距离为 ‎ ‎，解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎15．正三棱锥A-BCD中，底面边长为6，侧棱长等于5.‎ ‎（1）则正三棱锥A-BCD的体积V=________ ；‎ ‎（2）正三棱锥A-BCD的外接球的半径R=__________ .‎ ‎【答案】 R= ‎ ‎【解析】（1）如图所示，先计算，再利用勾股定理得到，直接利用体积公式计算得到答案。‎ ‎（2）先确定正三棱锥A-BCD的外接球的球心在上，利用勾股定理得到 计算得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：正三棱锥A-BCD，在平面的投影为等边中心.‎ 底面边长为6，则 ，在中，利用勾股定理得到 ‎ 故答案为：‎ ‎（2）如图所示：正三棱锥A-BCD的外接球的球心在上，设为 ‎，， ‎ 利用勾股定理得到 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥体积，外接球问题，确定外接球的球心位置是解题的关键.‎ ‎16．过O(0,0)引圆C：的切线,切点为A,B．‎ ‎（1）A,B两点之间距离_______;‎ ‎（2）直线AB的方程是：__________ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）根据勾股定理得到，再计算得到 ‎，利用得到答案.‎ ‎（2）根据得到，设直线方程为，利用点到直线的距离公式得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：在中，，则 ‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎（2）如图所示：， ，根据（1）知：‎ 设所在直线为：，即，‎ 根据图像舍去 ，故 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的位置关系，利用垂直关系可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎17．若满足线性约束条件.‎ ‎（1）的最小值等于______；‎ ‎（2）若恒成立，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（1）化简得到表示的几何意义为可行域上的点到的距离的平方减去，利用点到直线的距离公式计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，利用几何意义分别计算和的最小值和最大值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：画出可行域.‎ 表示的几何意义为：可行域上的点到的距离的平方减去，‎ 故当距离最小时最小 利用点到直线的距离公式得到：，此时 故当时， 最小值为： ‎ 故答案为：‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎，表示到斜率的相反数，取点时有最小值为；‎ ‎，表示到斜率的相反数，取点 时有最大值为.‎ 故 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划问题，将代数式转化为几何意义进行计算是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎18．不等式组表示的平面区域为D，的最大值等于8.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）若直线过点P(-3,3)，求区域D在直线上的投影的长度的取值范围.‎ ‎【答案】(1)=2 (2)(3)‎ ‎【解析】（1）画出可行域和目标函数，根据平移得到经过时取最大值，代入计算得到答案.‎ ‎（2）表示的是点到点的斜率，根据图像知：当和 时分别取最大最小值，计算得到答案.‎ ‎（3）当直线分别与轴，轴平行时，投影有最大值最小值，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：画出可行域，和目标函数 通过平移知当经过点时，有最大值，即 ‎ ‎（2）表示的是点到点的斜率 根据图像知：当时，有最大值为；当时有最小值为.‎ 故 ‎（3）根据图像知： ‎ 当直线与轴平行时，投影有最大值为；‎ 当直线与轴平行时，投影有最小值为；‎ 区域D在直线上的投影的长度的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划问题，将代数式转化为对应的几何意义是解题的关键.‎ ‎19．如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD,点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN.‎ ‎（1）求证：直线MN∥平面PCD.‎ ‎（2）若点M为线段PA的中点，求直线PB与平面AMN所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）过点作交于，连接，通过相似证明得到平面平面，得到答案.‎ ‎（2）以为 轴建立空间直角坐标系，计算得到平面的法向量为，利用夹角公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：过点作交于，连接.‎ ‎， ‎ 故，所以平面平面 ‎ 故直线MN∥平面PCD ‎（2）由于 ，‎ 以为 轴建立空间直角坐标系，‎ 设,则 ‎ 则 ,设平面的法向量为 根据 得到 故法向量 则向量 与 的夹角为,则，‎ 则与平面夹角的余弦值为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎20．已知直线（）.‎ ‎（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；‎ ‎（2）当O（0,0）点到直线距离最大时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】（1）分别取计算截距，得到计算得到答案.‎ ‎（2）过定点，当直线与 垂直时，距离最大，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线，取，取 ‎ 即解得或 ，故直线方程为或 ‎ ‎（2）变换得到故过定点 ‎ 故当直线与垂直时，距离最大 ‎，故 解得，代入方程得到 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的截距相等，距离最大，意在考查学生的计算能力.‎ ‎21．如图，四棱锥中，垂直平面，，，，为的中点. ‎ ‎（Ⅰ） 证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明 （Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）可证 平面，从而得到平面平面．‎ ‎（Ⅱ）在平面内过作的垂线，垂足为，由（1）可知平面，从而就是所求的线面角，利用解直角三角形可得其正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明: 平面，平面， 故．‎ 又，所以． 故，即 ，而，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）平面，平面， 故．又，所以． ‎ 在平面内，过点作，垂足为．‎ 由（Ⅰ）知平面平面， 平面，平面平面 所以平面． ‎ 由面积法得：即．‎ 又点为的中点，．所以． ‎ 又点为的中点，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等．‎ 连结交于点，则．‎ 所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，即．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． ‎ 另解：如图，取的中点，如图建立坐标系．‎ 因为，所以．所以有：‎ ‎，，，，，‎ ‎． ‎ ‎．，．‎ 设平面的一个法量为，则 取，得，．即． ‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ ‎22．已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切.‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）设点P（0,1），若直线与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】（1）)设圆心（），圆的半径为，根据相切得到 ，计算得到答案.‎ ‎（2）)设，联立方程利用韦达定理得到 ‎，根据计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设圆心（）∴ 圆的半径为，所以 ，解得：‎ 圆的标准方程是：‎ ‎(2)设 . ，‎ 消去得：‎ ‎△=，得：‎ ‎， 又 ‎ 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的位置关系，将转化为是解题的关键.‎