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- 2021-04-20 发布
定州市2018—2019学年度第一学期期中考试
高二数学（理科）试题
命题人：常少朋
说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共三个大题，22个小题。满分150分，时间120分钟。Ⅰ卷答案涂在答题卡上或答在第Ⅱ卷前相应的表格中。交卷时只收第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（客观题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。
1.若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）
A．p真q真 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q假
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题正确的是( )
A. 命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＞0，则Øp：对任意的x∈R，x2＋x＋1≤0
B. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＞b是cos A＜cos B的充要条件
C. 已知p：＞0，则Øp：≤0
D. 存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝成立
4．《朗读者》以精美的文字，最平实的情感读出文字背后的价值，感染了众多听众，中央电视台在2018年推出了《朗读者第二季》，电视台节目组要从2018名观众中抽取50名幸运观众．先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2018人中，每个人被抽取的可能性 ( )
A． 都相等，且为 B． 都相等，且为
C． 均不相等 D． 不全相等
5.从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是红球 B．恰有一个黑球与恰有两个黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球 D．至少有一个黑球与都是红球
6.已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点P，满足|PF1|=17，则（ ）
A．1或33 B．1 C．33 D．1或11
7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为( )
A.25 B.50 C.18 D.99
8．一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去60，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．62.4,1.1 B．30.6,1.1
C. 62.4,17.6 D．30.6,17.6
7题图
9. 已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A．[，＋∞) B．(－∞， ]
C．[，＋∞) D．(－∞，－]
10.已知具有线性相关的变量x,y，设其样本点为Ai(xi,yi)(i=1,2,……，8)，回归直线方程为，若，（为原点），则a= （ ）
A. B. C. D.
11.已知圆C：，直线，在圆C上任取一点P到直线的距离小于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（主观题 共90分）
二． 填空题（每小题5分，共20分）
13.若k进制数132(k)与二进制数11110(2)相等．则k＝ .
14.已知两定点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
15.已知M是椭圆上任意一点,F为其左焦点,点A为圆C:(x+1)2+(y−10)2=1上任意一点，则|MA|-|MF|的最小值是
16.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦的中点在准线上的射影为，则的最大值为
三．解答题（6小题，共60分）
17．（本小题满分10分）
已知设成立； 指数函数为增函数，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
在同一平面内，动点M与两定点A1(-a，0)、A2(a，0)(a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m，加上A1、A2两点所成的曲线C，求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
19（本小题满分12分）
2018年10月23日，习近平宣布大桥正式开通；大桥于10月24日上午9时正式通车；这座被誉为“新世界七大奇迹”的大桥，问鼎多项“世界之最”：世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥；是公路建设史上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最庞大的桥梁，世界最大尺寸高阻尼橡胶隔震支座、世界最大难度深水无人对接的沉管隧道等等…，现在在定州市中学生中，对这座世纪大桥的了解程度进行调查，随机选取了100人进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其了解度评分值百分制按照[50,60)，[60,70)，……，[90,100)分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知了解度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3：2，若在了解度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行问答，求恰有1名女生的概率．
20.（本小题满分12分）
是否存在同时满足下列两条件的直线：
（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：垂直平分.
若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
21.（本小题满分12分）
某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：
年份t(年)
1
2
3
4
5
维护费y(万元)
1.1
1.5
1.8
2.2
2.4
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.
(参考公式：，）
22． （本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线方程为，直线与双曲线的交点为且．
（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交双曲线于两点，当的内切圆的面积取最大值时，求的面积．
定州市2018—2019学年度第一学期期中考试
理科试题答案
一．选择题
1 .C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B 11.B 12.C
二 .填空题
13. 4 14. 15. 16.
三．解答题
17．解：若为真：对， 恒成立，
设，配方得，
所以在上的最小值为，
所以，解得，所以为真时： ； ┉┉┉┉┉┉┉2分
若为真： ， ┉┉┉┉┉┉┉4分
因为”为真，“”为假，所以与一真一假， ┉┉┉┉┉┉┉5分
当真假时，所以， ┉┉┉┉┉┉┉7分
当假真时，所以， ┉┉┉┉┉┉┉9分
综上所述，实数的取值范围是或. ┉┉┉┉┉┉┉10分
18.设动点为M，其坐标为(x，y)，
当x≠±a时，由条件可得
，
即mx2-y2=ma2(x≠±a)， ┉┉┉┉┉┉┉3分
又A1(-a，0)、A2(a，0)的坐标满足mx2-y2=ma2， ┉┉┉┉┉┉┉4分
故依题意，曲线C的方程为mx2-y2=ma2，
当m＜-1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；┉┉┉┉┉6分
当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆； ┉┉┉┉┉8分
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；┉┉┉┉10分
当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．┉┉┉┉┉12分
19. 解(1)由（0.005+0.02+0.035+0.030+x)×10=1，解得x =0.01 ┉┉┉┉┉3分
(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77
中位数设为m，则0.05+0.2+(m-70)×0.035=0.5，解得m= ┉┉┉┉┉7分
(3) 满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人， ┉┉┉┉┉8分
其中男生 3人，女生2人．记为A1,A2,A3,B1,B2,
记“了解度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行问答，恰有1名女生”为事件A。
通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为6个，┉┉┉┉┉11分
利用古典概型概率公式可知， ┉┉┉┉┉12分
20.假定在抛物线上存在这样的两点
┉┉┉┉3分
∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，
且. ┉┉┉┉┉6分
设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.
于是：AB中点为. ┉┉┉┉┉9分
故存在符合题设条件的直线，其方程为：
. ┉┉┉┉┉12分
（另法：设直线方程为y=5x+b,与抛物线联立后利用韦达定理，亦可）
21.解: ┉┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉┉5分
┉┉┉┉┉┉┉6分
所以回归方程为 .┉┉┉┉┉┉┉7分
（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：
（万元）， ┉┉┉┉┉┉┉9分
若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：
（万元），┉┉┉┉┉┉┉11分
因为，所以甲更有道理． ┉┉┉┉┉┉┉12分
22. 解：（Ⅰ）椭圆：的离心率为，则，┉┉┉┉┉1分
不妨设，由得，，
把代入双曲线方程得，解得， ┉┉┉┉┉3分
所以椭圆方程为．所以双曲线的方程为． ┉┉┉┉┉5分
（Ⅱ）设， 点的坐标分别为，不妨设，内切圆半径．
所以的周长是，
所以， ┉┉┉┉┉6分
所以当圆的半径最大时，面积最大，即， ┉┉┉┉┉7分
设直线的方程为，
，消去得， ┉┉┉┉┉8分
解得，，
所以， ┉┉┉┉┉9分
不妨设，于是，
因为在上单调递增，
所以，
当且仅当时取到．
故直线与椭圆交于两点使得的内切圆的面积最大． ┉┉┉┉┉11分
所以，所以，即，
故的面积为． ┉┉┉┉┉12分