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- 2021-04-20 发布
江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高二数学试题
一、选择题
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定可得出正确选项.
【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故选：C.
【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.
2.关于的不等式的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.
【详解】由得，即，
解得或，即原不等式的解集为：或.
故选：B
【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.
3.在等差数列中，，，则公差（）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
分析】
全部用 表示，联立方程组，解出
【详解】
【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。
4.已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. 16 B. 8 C. 25 D. 32
【答案】A
【解析】
因为椭圆的方程我，所以 ，由题意的定义可得的周长，故选A.
5.已知数列的前4项为：，，，，则数列的通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.
【详解】观察数列的前4项，可知分母为，分子是奇数，为，
同时符号是正负相间，为，
所以.
故选B.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键．
6.在下列函数中，最小值是的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求各选项函数的最值，但要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立.
【详解】对于A选项中的函数，当时，，则函数没有最小值；
对于B选项中的函数，，，当且仅当时，等号成立，但，等号不成立，则；
对于C选项中的函数，当且仅当时，等号成立，则该函数的最小值为；
对于D选项中的函数，由基本不等式得
，当且仅当时，即当时，等号成立，该函数的最小值为.故选：D.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于中等题.
7.不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论两种情况，时合题意，当时，利用判别式小于零且可得结果.
【详解】当时，不等式即，恒成立．
当时，由题意可得，且，解得．
综上，实数的取值范围是，故选C．
【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.
8.已知在等比数列中,公比是整数,,则此数列的前项和为()
A. 514 B. 513 C. 512 D. 510
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据条件计算出首项和公比的值，然后利用前项和公式计算前项和.
【详解】因为，所以且是整数，解得：；
所以，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算以及等比数列的前项和公式，难度较易.使用等比数列的前项和公式时，注意公比.
9.直线经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设椭圆方程为：，直线经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，
由对称性，不妨设直线，
椭圆中心到的距离为其短轴长的，所以,解得，即离心率为.
故选A.
10.数列满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果.
【详解】因为数列满足，
，（）
则，则，（），
又满足，所以，
因此.
故选：A
【点睛】本题主要考查等比数列部分项的乘积，熟记等比数列的通项公式以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.
二、填空题
11.椭圆的一个焦点是，那么实数的值为
【答案】1
【解析】
试题分析：变形为
考点：椭圆方程及性质
12.是等差数列的前n项和,若,则当时,取最大值.
【答案】13
【解析】
【分析】
题中等差数列前项和是的二次函数，由二次函数性质可得最值．
【详解】∵，∴公差，当时，取得最大值．
故答案为13．
【点睛】本题考查等差数列前和性质．由于，当时，它是的二次函数，因此由二次函数性质可得最值．
13.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题，“”是“”的必要不充分条件，则是
的真子集，可得答案.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是真子集，所以，
故答案为.
【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.
14.已知数列的前项和为，则____
【答案】31
【解析】
【分析】
由题中条件，根据并项求和的方法，即可求出结果.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：31
【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记并项求和的方法即可，属于常考题型.
15.已知正数满足，则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．
【详解】正数，满足，则，
则
，
当且仅当时，即，时取等号，
故答案为：．
【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．
16.数列满足，（），则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值。
【详解】
由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，
所以
【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算。
三、解答题
17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用和表示出和，解方程组求得和；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得通项公式，采用裂项相消法求得结果.
【详解】（1）设等差数列公差为
，即：…①
又成等比数列
，整理可得：…②
由①②得：
（2）由（1）得：
【点睛】本题考查等差数列通项公式求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够将数列的通项公式进行准确裂项，从而前后相消得到结果，属于常考题型.
18.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求得c及2a，在△F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面积公式可得△F2PF1的面积．
【详解】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（），
因为点在椭圆上，所以， 解得，
所以，椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
在△F2PF1中，由余弦定理可得：
即
，则
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．
19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：.若不建隔热层，每年的能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用最小，并求其最小值.
【答案】（1），（2）当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.
【解析】
【分析】
（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x），若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．我们可得C（0）＝，得k＝36，进而得到．建造费用为C1（x）＝4x，则根据隔热层建造费用与16年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，研究函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
【详解】（1）由题意知：，代入中得，因此
，即
（2）由
令，则，考察函数在的单调性知：当时为减函数，当时为增函数，
此时
即当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.
【点睛】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
20.设函数,
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）求不等式的解集；
（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的解集，得到是方程的两个根，由韦达定理，即可求出结果；
（2）先将不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；
（3）先由题意得到对于恒成立，由基本不等式求出的最小值，即可得出结果.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个根，
因此；
（2），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查由不等式解集求参数，分类讨论法解含参数的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间关系，熟记基本不等式，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.
21.设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列位的前项和，求；
（3）在（2）的条件下，是否存在自然数，使得对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题干可推导得到，进而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得到结果；（2
）由错位相减的方法得到结果；（3）根据第二问得到：，数列单调递增，由数列的单调性得到数列范围.
【详解】（1）由，令，则，
又，所以.
当时，由可得，
，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.
（2）
∴
∴
从而
（3）由（2）知，
∴数列单调递增，
∴，
又，∴
要恒成立，则，
解得，又，
故.
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。