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- 2021-04-20 发布
第1讲 函数与方程思想、数形结合思想
数学思想解读
1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.
2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
热点一 函数与方程思想
应用1 求解不等式、函数零点的问题
【例1】 (1)(2018·衡阳市联考)设01)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)设f(x)＝ex－x－1，x>0，则f′(x)＝ex－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，
∴ex－1>x，即ea－1>a.
又y＝ax(0ae，
从而ea－1>a>ae.
(2)由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，
因为当x∈[－2，0]时，f(x)＝－6.
所以若x∈[0，2]，有－x∈[－2，0]，
则f(－x)＝－6＝3x－6，
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝3x－6，x∈[0，2]，
由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，
作出函数f(x) 的图象如图.
当a>1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，
则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，则满足即
解得0恒成立，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，(bn)max＝.
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，
∴实数k的最小值为.
应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用
【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
解 (1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，
故x2＝－x1＝.①
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝；
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，
得x0＝.所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
解得k＝或k＝.
(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
h1＝＝，
h2＝＝.
又|AB|＝＝，
所以四边形AEBF的面积为
S＝|AB|(h1＋h2)
＝··＝
＝2＝2≤2，
当且仅当4k2＝1(k＞0)，即当k＝时，上式取等号.
所以S的最大值为2.
即四边形AEBF面积的最大值为2.
探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.
【训练3】 (1)(2018·平顶山一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
(2)已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
解析 (1)设F(c，0)，则直线AB的方程为y＝(x－c)代入双曲线渐近线方程y＝－x得A.
由＝2，可得B，把B点坐标代入－＝1，得－＝1.∴c2＝5a2，
所以离心率e＝＝.
(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，
故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为l＝＝.
令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
显然当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；
当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增.
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故其侧棱长的最小值l＝＝2.
答案 (1)C (2)2
热点二 数形结合思想
应用1 讨论函数的零点或方程的根
【例4】 (1)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
(2)(2018·山东卷)已知函数f(x)＝
其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析 (1)由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，
从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得0＜b＜2.
(2)作出f(x)的图象如图所示.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.
答案 (1)(0，2) (2)(3，＋∞)
探究提高 1.本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题.
2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数
，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
【训练4】 (2018·乐山二模)若函数f(x)满足f(x－1)＝，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x，若在区间[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点，则实数m的取值范围为________.
解析 ∵x∈[－1，0]时，f(x)＝x.
∴当x∈(0，1)时，－10).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：
由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.
解方程组得点C(5，8).
所以f(x)max＝8.
(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.
因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
因为|OC|＝＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
答案 (1)C (2)B
探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题利用几何直观，把m的值转化为圆上的点到原点的距离.
2.运用数形结合思想求解最值问题
(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.
(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
【训练5】 (2018·九江十校联考)设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|＋|的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.
解析 设AB的中点为D，则＋＝2，
∴当且仅当O，D，P三点共线时，|＋|取得最小值，
此时OP⊥AB，且OP⊥l.
∵圆心到直线的距离为＝，
|OD|＝＝，
∴|＋|的最小值为2＝.
答案 D
应用3 数形结合求解不等式、参数问题
【例6】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞)
(2)(2018·西安调研)已知变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝( )
A.－1 B.－2 C.1 D.2
解析 (1)设g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝.当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示.
当x>0时，由f(x)>0，
得g(x)>0，由图知00，
得g(x)<0，由图知x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).
(2)将目标函数变形为y＝2x－z，当z取最大值时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，故当m≤时，不满足题意.
当m>时，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).
y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝2x－y取得最大值.
易求点B，
∴最大值为z＝2×－＝2，解得m＝1.
答案 (1)A (2)C
探究提高 1.第(1)题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围.
2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.
【训练6】 (1)当x∈(1，2)时，(x－1)21.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
(2)作线性约束条件表示的可行域如图所示.
令t＝表示可行域内的点P(x，y)与定点M(1，1)连线的斜率.
易求点B(－1，0)，kMB＝＝，且x＋y＝0的斜率为－1.
∴－1