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- 2021-04-20 发布
第 21 讲 坐标系与参数方程
1.[2018·全国卷Ⅰ 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y= x +2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求 C2 的直角坐标方程;
(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.
[试做
2.[2017·全国卷Ⅰ 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
= 3cos
,
= sin
(θ为参数),直线 l 的参数方程为
= + 4
,
= 1
-
(t 为参数).
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为
17
,求 a.
[试做
命题角度 坐标系与参数方程
(1)根据 x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2 可将极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现;
(3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普
通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.
解答 1 极坐标与简单曲线的极坐标方程
1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x+
3
y=5
3
,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C
的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程;
(2)射线 OP:θ=π
6
与圆 C 的交点为 O,A,与直线 l 的交点为 B,求线段 AB 的长.
[听课笔记
【考场点拨】
进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的两边同
乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.
【自我检测】
在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2:θ=π
3
(ρ∈R).
(1)求 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C3 的极坐标方程为θ=π
6
(ρ∈R),设 C2 与 C1 的交点为 O,M,C3 与 C1 的交点为 O,N,求△OMN 的面积.
解答 2 简单曲线的参数方程
2 已知直线 l 的参数方程为
= 1 + cos
,
= sin
(t 为参数),曲线 C 的参数方程为
= 3cos
,
= sin
(α为参数),且直线 l 交曲
线 C 于 A,B 两点.
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并求当θ=π
4
时, AB 的值;
(2)已知点 P(1,0),当直线 l 的倾斜角θ变化时,求 PA · PB 的取值范围.
[听课笔记
【考场点拨】
(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的
坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题
时能够事半功倍.
【自我检测】
已知曲线 C:
4
2
9
+
2
16
=1,直线 l:
= 3 +
,
= 5
-
2
(t 为参数).
(1)写出曲线 C 的参数方程和直线 l 的普通方程;
(2)设曲线 C 上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d,求 d 的最大值与最小值.
解答 3 极坐标方程与参数方程的综合应用
3 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
= 2 +
2
2
,
=
-
1 +
2
2
(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ=2
2
acos
+
π
4 >
5
6
.
(1)分别写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;
(2)已知点 P(2,-1),直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点,若 MN 2=6 PM · PN ,求 a 的值.
[听课笔记
【考场点拨】
参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如 cos2α+sin2α=1 等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过
选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.利用关系式
= cos
,
= sin
,
2
+
2
=
2
,
= tan
等可以将极坐标方程与直角
坐标方程互化.
【自我检测】
在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为
3
x-y-2
3
=0,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,
曲线 C 的极坐标方程为 2cos θ=ρ(1-cos2θ).
(1)写出直线 l 的一个参数方程与曲线 C 的直角坐标方程;
(2)已知直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求 AB 的中点 N 的坐标.
模块七 选考模块
第 21 讲 坐标系与参数方程
典型真题研析
1.解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ得 C2 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆.
由题设知,C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2.
由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点,或
l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点.
当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为 2,所以 -
+2
2+1
=2,故 =-
4
3
或 =0.
经检验,当 =0 时,l1 与 C2 没有公共点;
当 =-
4
3
时,l1 与 C2 只有一个公共点,l2 与 C2 有两个公共点.
当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以
+2
2+1
=2,故 =0 或 =
4
3
.
经检验,当 =0 时,l1 与 C2 没有公共点;
当 =
4
3
时,l2 与 C2 没有公共点.
综上,所求 C1 的方程为 y=-
4
3
x +2.
2.解:(1)曲线 C 的普通方程为
2
9
+y2=1.
当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.
由
+ 4
-
3 = 0
,
2
9 +
2
= 1
,
解得
= 3
,
= 0
或
=
-
21
25
,
=
24
25
.
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0), -
21
25
,
24
25
.
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离
d=
3cos +4sin
-
-
4
17
.
当 a≥-4 时,d 的最大值为
+9
17
,由题设得
+9
17
=
17
,所以 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-
+1
17
,由题设得-
+1
17
=
17
,所以 a=-16.
综上,a=8 或 a=-16.
考点考法探究
解答 1
例 1 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入 x+
3
y=5
3
中,
得ρcos θ+
3
ρsin θ=5
3
,整理得 2ρsin
+
π
6
=5
3
,
即直线 l 的极坐标方程为 2ρsin
+
π
6
=5
3
.
由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,将ρ2=x2+y2,ρsin θ=y 代入上式,得 x2+y2=4y,
可得 x2+(y-2)2=4,即圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4.
(2)将θ=π
6
分别代入ρ=4sin θ,2ρsin
+
π
6
=5
3
,得 OA =4sinπ
6
=2, OB =
5 3
2sin
π
6+
π
6
=5,
所以 AB = OB - OA =3.
【自我检测】
解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+y2-4x-8y=0,
把 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,
所以 C1 的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.
易得 C2 的直角坐标方程为 y=
3
x.
(2)分别将θ=π
3
,θ=π
6
代入ρ=4cos θ+8sin θ中,得 OM =2+4
3
, ON =4+2
3
,
则△OMN 的面积为
1
2
×(2+4
3
)×(4+2
3
)×sin π
3
- π
6
=8+5
3
.
解答 2
例 2 解:(1)由曲线 C 的参数方程为
= 3cos
,
= sin
(α为参数),得曲线 C 的普通方程为
2
3
+y2=1.
当θ=π
4
时,直线 l 的普通方程为 y=x-1,
代入
2
3
+y2=1,可得 2x2-3x=0,∴x1=0,x2=
3
2
,
∴ AB =
1 + 1
×
3
2
-
0
=
3
2 2
.
(2)将直线 l 的参数方程代入
2
3
+y2=1,
得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cos θ·t-2=0.
设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,
则 t1t2= -
2
cos
2
+3sin
2
,∴ PA · PB =-t1·t2=
2
cos
2
+3sin
2
=
2
1+2sin
2
∈
2
3
,
2
.
【自我检测】
解:(1)曲线 C 的参数方程为
=
3
2 cos
,
= 4sin
(θ为参数),直线 l 的普通方程为 2x+y-11=0.
(2)可设点 P
3
2 cos
,
4sin
,则点 P 到直线 l 的距离 d=
5
5
3cos θ+4sin θ-11 =
5
5
5sin(θ+α)-11 ,其中α为锐角,且 tan
α=
3
4
.
则当 sin(θ+α)=-1 时,d 取得最大值,最大值为
16 5
5
;当 sin(θ+α)=1 时,d 取得最小值,最小值为
6 5
5
.
解答 3
例 3 解:(1)将
= 2 +
2
2
,
=
-
1 +
2
2
(t 为参数)消去参数 t,可得 x-y-3=0,
∴直线 l 的普通方程为 y=x-3.
由ρ=2
2
acos
+
π
4
,得ρ2=2ρa(cos θ-sin θ).
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y 代入上式,得 x2+y2-2ax+2ay=0,
即(x-a)2+(y+a)2=2a2,
∴曲线 C 的直角坐标方程为(x-a)2+(y+a)2=2a2.
(2)将
= 2 +
2
2
,
=
-
1 +
2
2
代入 x2+y2-2ax+2ay=0 中,
整理得 t2+
2
t+5-6a=0.
设 M,N 两点对应的参数分别为 t1,t2,
则 t1+t2=-
2
,t1t2=5-6a.
∵ MN 2=6 PM · PN ,
∴(t1-t2)2=6 t1t2 ,
又 a>
5
6
,
∴t1t2<0,
∴(t1-t2)2=-6t1t2,
∴(t1+t2)2+2t1t2=0,即(-
2
)2+2(5-6a)=0,
解得 a=1,符合题意,
∴a=1.
【自我检测】
解:(1)直线 l 的方程为
3
x-y-2
3
=0,
即
3
(x-2)=y.
令 x=t+2,y=
3
t,
则直线 l 的一个参数方程为
= + 2
,
= 3
(t 为参数).
由曲线 C 的极坐标方程可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ,
即ρ2sin2θ=2ρcos θ,可得曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x.
(2)将
= + 2
,
= 3
代入 y2=2x,得 3t2-2t-4=0.
设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=
2
3
.
设点 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
则 x0=
1+ 2
2
=2+
1+ 2
2
=
7
3
,y0=
1+ 2
2
=
3
(
1+ 2
)
2
=
3
3
,
故 AB 的中点 N 的坐标为
7
3
,
3
3
.
[备选理由 例 1 第(2)问考查两弦长之和,其实质是极径之和,可以写成极角的表达式,利用三角函数求解最值,有利
于强化学生的综合分析能力与化归转化思想;例 2 考查参数方程与极坐标方程的综合应用.
例 1 [配例 1 使用 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的圆心为
0
,
1
2
,半径为
1
2
,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系.
(1)求圆 C 的极坐标方程;
(2)设 M,N 是圆 C 上两个动点,且满足∠MON=
2
π
3
,求 OM + ON 的最大值.
解:(1)圆 C 的直角坐标方程为 x2+
-
1
2
2
=
1
4
,即 x2+y2-y=0,
化成极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理得ρ=sin θ.
(2)设 M(ρ1,θ),N
2
,
+
2
π
3
,
则 OM + ON =ρ1+ρ2=sin θ+sin
+
2
π
3
=
1
2
sin θ+
3
2
cos θ=sin
+
π
3
.
由
0
π,
0 +
2
π
3
π,得 0<θ<π
3
,所以π
3
<θ+π
3
<
2
π
3
,
故
3
2