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- 2021-04-20 发布
高三上学期期中理科数学试卷
题号
一
二
总分
得分
评卷人
得分
一、填空题 本大题共14道小题。
1.
设幂函数y=xα的图象经过点(2，)，则α的值为 ．
2.
设向量=(2，3)，=(3，3)，=(7，8)，若=x+y(x，y∈R)，则x+y= ．
3.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC= ．
4.
若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为 ．
5.
已知集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B= ．
6.
设函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是 ．
7.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=，B=，则A= ．
8.
设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log220）= ．
9.
设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有 ．（请将你认为正确命题的序号都写上）
10.
函数y=sin2x的最小正周期是 ．
11.
设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则= ．
12.
命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是 ．
13.
在等差数列{an}中，若a2+a5=，则数列{an}的前6项的和S6= ．
14.
设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，＜φ＜）的部分图象如图所示，若f(α)=（0＜α＜），则f(α+)的值为 ．
评卷人
得分
一、解答题 本大题共6道小题。
15.
设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．
（1）若函数h(x)=f(x)+在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；
（2）设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的x∈(π，)，都有φ（x）≥0，求m的取值范围；
（3）设m＞0，点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x0满足题意，且x0∈(1，)．
16.
记函数f（x）=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．
（1）当a=1时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，cosB=，且=7．
（1）求b的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
18.
2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目．规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N*）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求f（n）的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
（参考数据：()4≈5，ln2≈0.7，ln3≈1.1）
19.
设直线x=是函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的减区间．
20.
已知数列{an}满足a1=﹣1，a2=1，且an+2=an(n∈N*)．
（1）求a5+a6的值；
（2）设Sn为数列{an}的前n项的和，求Sn；
（3）设bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．
试卷答案
1.
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】由于幂函数y=xα的图象过点，把此点的坐标代入解得α即可．
【解答】解：∵幂函数y=xα的图象过点，∴，解得．
故答案为．
2.
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，则有，解可得x、y的值，将其相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，，
若，
则有，
解可得，
则x+y=，
故答案为：．
3.
12
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】由题意ABD和ADC面积和定理可得AD=，△ABC中利用余弦弦定理即可求解b•c，根据S△ABC=cbsinA可得答案．
【解答】解：由A=，a=4，
余弦定理：cosA=，即bc=b2+c2﹣112．…①
角A的平分线交边BC于点D，
由ABD和ADC面积和定理可得AD=，AD=3，
即bc=3（b+c）…②
由①②解得：bc=48．
那么S△ABC=cbsinA=12．
故答案为：12
4.
（﹣，﹣6）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）•f′（2）＜0，解出不等式求并集即可．
【解答】解：f′（x）=2x+a+3+=，
若f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点，
则f′（1）f′（2）＜0，即（a+6）（2a+15）＜0，
解得：﹣＜a＜﹣6，
故答案为：（﹣，﹣6）．
5.
{1，2，3，6}
【考点】并集及其运算．
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B={1，2，3，6}，
故答案为：{1，2，3，6}
6.
（﹣∞，2]
【考点】函数恒成立问题．
【分析】利用勾勾函数的性质即可求解．
【解答】解：函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），
∵x∈（0，+∞）
当x＞a时，可得f（x）=x+﹣a﹣a≥4，当且仅当x=3时取等，
即6﹣a≥4，
可得：a≤2．
当x＜a时，可得f（x）=a﹣x+，
∵y=在（0，+∞）是递减函数，对f（x）≥4不成立．
∴a无解．
故答案为（﹣∞，2]．
7.
【考点】正弦定理．
【分析】由已知结合正弦定理，可得sinA=1，进而得到答案．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若a=2，，，
则由正弦定理得：，即，
解得：sinA=1，
又由A为三角形的内角，
故A=，
故答案为：．
8.
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），可得：4﹣log220x∈[﹣1，0），进而f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），结合对数的运算性质，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），
∴4﹣log220x∈[﹣1，0），
∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），
∵当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，
∴f（log220）=﹣（）==，
故答案为：．
9.①②③
【考点】数列递推式．
【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，因此0∈{an}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．
【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，
令i=j，则0为数列的某一项，
即a4=0，
则a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．
必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，
而a1﹣a2=a2或a3，
若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；
若a1﹣a2=a3∈{an}，此时a1=3a3，
可得数列{an}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；
据此分析选项：易得①②③正确；
故答案为：①②③
10.
π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．
【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π，
故答案为：π．
11.8
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的数量积定义，写出•，
再由菱形的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义，
得到||×cos∠BAO=||=2，从而求出答案．
【解答】解：设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，
则AC⊥BD，且AO=AC=2，
由平面向量的数量积定义可知：
•=||×||×cos∠BAC
=4×||×cos∠BAO
=4×||
=4×2
=8．
故答案为：8．
12.
（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【考点】特称命题．
【分析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．
【解答】解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，
则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，
故△=a2﹣4＞0，
解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
13.
2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a6，再由等差数列的前n项和公式求得S6．
【解答】解：在等差数列{an}中，∵，
∴S6==．
故答案为：2．
14.
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式；
再由f（α）的值，利用三角恒等变换求出f（α+）的值．
【解答】解：由函数f（x）的图知，A=2，
由T=2×[﹣（﹣）]=2π，得ω==1，
∴f（x）=2sin（x+φ）；
又f（）=2sin（+φ）=2，且﹣＜φ＜，
∴φ=﹣，
∴f（x）=2sin（x﹣）；
由f（α）=2sin（α﹣）=，
∴sin（α﹣）=；
又0＜α＜，
∴﹣＜α﹣＜，
∴cos（α﹣）==；
∴f（α+）=2sinα
=2sin[（α﹣）+]
=2sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin
=2××+2××
=．
故答案为：．
15.
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，分离m，根据函数恒成立求出m的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，问题转化为mlnπ+cosπ≥0，求出m的范围即可；
（3）分别求出msinx0=x0（*），mlnx0=cosx0（**），联立（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）由题意，知，所以．
由题意，，即对x∈（1，+∞）恒成立．…
又当x∈（1，+∞）时，，所以m≥1．…
（2）因为φ（x）=f（x）+g（x）=mlnx+cosx，所以．
①当m≤0时，因为，所以lnx＞0，cosx＜0，故φ（x）＜0，不合题意．…
②当m＞0时，因为，所以φ'（x）＞0，故φ（x）在上单调递增．…
欲φ（x）≥0对任意的都成立，则需φ（π）≥0，所以mlnπ+cosπ≥0，解得．
综上所述，m的取值范围是．…
（3）证明：因为，g'（x）=﹣sinx，且函数f（x）与g（x）在点P（x0，y0）处的切线互相垂直，
所以，即msinx0=x0（*）．
又点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，所以mlnx0=cosx0（**）．
由（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．…
①当x0∈（0，1]时，因为m＞0，所以mlnx0≤0，且cosx0＞0，此与（**）式矛盾．
所以在（0，1]上没有x0适合题意．…
②当x0∈（1，+∞）时，设r（x）=xlnx﹣sinxcosx，x∈（1，+∞）．
则r'（x）=lnx+1﹣cos2x＞0，即函数r（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以函数r（x）在（1，+∞）上至多有一个零点．
因为r（1）=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1＜0，，
且r（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数r（x）在有唯一零点．
即只有唯一的x0∈（1，+∞），使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立，且．
综上所述，存在唯一的x0∈（0，+∞），且．…
16.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．
【分析】（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），求出A，B进而可得求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，进而可得答案．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），由1﹣x2＞0，得A=（﹣1，1）．…
又0＜1﹣x2≤1，所以B=（﹣∞，0]．…
故A∩B=（﹣1，0]．…
（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件⇔B⊊A．…
①当a=0时，A=R，B={0}，适合题意； …
②当a＜0时，A=R，B=[0，+∞），适合题意； …
③当a＞0时，，B=（﹣∞，0]，不适合题意．…
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．…
17.
【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积的定义求得c的值，再利用余弦定理，求得b的值．
（2）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（A﹣B）的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由，得accosB=7，即，解得c=3．
在△ABC中，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=9+9﹣18•=4，∴b=2．
（2）因为，所以B为锐角，故．
又由余弦定理，得，所以A为锐角，且．
所以．
18.
【考点】数列的应用．
【分析】（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）（千万元），第1年至此后第n
（n∈N*）年的累计净收入为
，利用等比数列的求和公式可得f（n）．
（2）方法一：由f（n+1）﹣f（n）=，利用指数函数的单调性即可得出．
方法二：设，求导利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入
为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），…
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入
为=（千万元）．…
所以（千万元）．…
（2）方法一：因为=，
所以当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；
当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．…
又，，．
所以，该项目将从第8年开始并持续赢利．…
答：该项目将从2023年开始并持续赢利．…
方法二：设，则，
令f'（x）=0，得，所以x≈4．
从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．…
又，，．
所以，该项目将从第8年开始并持续赢利．…
答：该项目将从2023年开始并持续赢利．…
19.
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由直线是函数f（x）的图象的对称轴，可得对x∈R恒成立．变形得到对x∈R恒成立，得．从而求得函数解析式，由，可得时，f（x）取得最大值2；
（2）由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间，取k值可得f（x）在[0，π]上的减区间．
【解答】解：（1）∵直线是函数f（x）的图象的对称轴，
∴对x∈R恒成立．
∴对x∈R恒成立，
即对x∈R恒成立，得．
从而．
故当，即时，f（x）取得最大值2；
（2）由，解得，k∈Z．
取k=0，可得f（x）在[0，π]上的减区间为．
20.
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．结合a1=﹣1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；
（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；②当n=2k﹣1时，由Sn=S2k﹣a2k求解；
（3）由（1）得（仅b1=0且{bn}递增）．结合k＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．
【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．
又a1=﹣1，a2=1，
∴，
即a5+a6=2；
（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）
===．
②当n=2k﹣1时，Sn=S2k﹣a2k=
==．
∴ ；
（3）由（1），得（仅b1=0且{bn}递增）．
∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．
①当k≥j+2时，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，
则=，
此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．
②当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，
则=，
又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．
若i≤j﹣2，则bi≤bj﹣2，得，
得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．
从而2bj=bj﹣1+bj+1，得，
化简，得3j﹣2=1，解得j=2．
从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．