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- 2021-04-20 发布
2017-2018学年度青冈一中高二下学期期中考试
数学试题B（理科）
满分：150分 考试时间：120分钟
第I卷（满分60分）
一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知，则复数Z=（ ）
A. B. C. D.
2.以下式子正确的个数是（ ）.
①②③④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知X～B（n，p），EX=8，DX=1.6，则n与p的值分别是（ ）
A．100，0.08 B．20，0.4 C．10，0.2 D．10，0.8
5.因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为（ ）
A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
6.已知得分布列为
-1
0
1
则在下列式中：①；②；③.正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.
中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8.函数的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，+∞）
9.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取得项是（ ）
A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4
10. 函数在上的最大值、最小值分别是（ ）
A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,16
11. 口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3个球，以表示取出的球的最大号码，则（ ）
A.4 B.4.5 C.4.75 D. 5
12. 已知函数在其定义域上没有极值，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
第II卷（满分90分）
一、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分）
13.已知a，b∈R，i是虚数单位，若，则= ．
14..
15.椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为 ．
16.设，若函数在区间有极值点，则取值范围为.
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知复数
（1）当为何值时，为纯虚数；
（2）如果复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知函数且.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间．
19.（本小题满分12分）生蚝即牡蛎是所有事物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所尤为肥美，因此生蚝称为一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量（g）
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
数量
6
10
12
8
4
（1） 若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（2） 以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）设数列的前n项和为Sn，且满足（n∈N*）．
（Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.
21. （本小题满分12分）
随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
22.（本小题满分12分）设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数的取值范围．
2017-2018学年度高二下学期期中考试
数学试题B（理科）答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
A
D
A
C
B
C
D
A
B
B
二、 填空题
13. 14.0 15. 16.
三、 解答题
17.（本小题10分）
解：（1）若为纯虚数，则所以，所以
（2） 若复数在复平面上对应的点位于第二象限则
，解得
18.（本小题满分12分）
解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1，
∴f′（）=+a﹣1=a，
解得：a=﹣1；
（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣x+c，
f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），单调减区间为（﹣
，1）．
19. （本小题满分12分）
解;(1)由表中的数据可以估算生蚝的质量为：
所以购进500kg,生蚝的数量为500000（只）
（2）由表中数据知任意挑选一只，质量在间的概率为.
X的可能取值为0,1,2,3,4
则
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
E(X)=
20.（1），所以，
，所以，
，所以，
，所以。
（2）猜想：。
下面用数学归纳法证明：
①当时，，猜想显然成立。
②假设当（）时猜想成立，即。
那么当时，，即。
又，所以，从而，即当时，猜想也成立。
故由①和②，可知猜想成立。
21.（本小题12分）解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，
则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，
则P（A）=1﹣P=1﹣=．
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，
P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．
E（X）=0×+1×+2×+3×=．
22.解：（1）f′（x）=，∵x＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1]．
（2）将f（x）代人方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0得2lnx﹣x﹣2﹣a=0，令g（x）=2lnx﹣x﹣2﹣a则g′（x）=；
∴x∈[1，2）时，g′（x）＞0；x∈（2，3]时，g′（x）＜0；
∴g（2）是g（x）的极大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；
∵关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；
∴函数g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：
解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以a的取值范围是（2ln3﹣5，2ln2﹣4）．