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- 2021-04-20 发布
2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学
数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分，共12题）
1．（5分）设集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1] C．[﹣1，1] D．[0，1]
2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．2
3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0
C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0
4．（5分）若sin（）＝﹣，α为第二象限角，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）
6．（5分）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（5分）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．（0，4）
8．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+ex，则f'（2）的值等于（ ）
A．﹣0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣﹣2
10．（5分）函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（ ）
A． B． C．﹣ D．
11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
12．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共4题）
13．（5分）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）≤3成立的x的取值范围 ．
15．（5分）已知，则cos（α﹣β）＝ ．
16．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是 ．
三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）
17．（10分）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．
（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
18．（12分）（文）已知函数f（x）＝（sinωx+cosωx）cosωx﹣（ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
19．（12分）在△ABC中，a，b，c，分别为角A，B，C的对边，且sinB﹣sinC＝sin（A﹣C）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a＝3，求b+2c的最大值．
20．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．
（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；
（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．
21．（12分）设函数f（x）＝x2+1﹣lnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x在区间上的最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．
2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共12题）
1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，
B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．
故选：B．
2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，
∴|z|＝．
故选：B．
3．【分析】命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．
【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．
故选：A．
4．【分析】由已知求得cosα，进一步得到sinα，再由商的关系求得tanα．
【解答】解：由sin（）＝﹣，得cos，
∵α为第二象限角，∴sin．
则tanα＝．
故选：A．
5．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∧q”为真命题，确定实数a的取值范围
【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne＝1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0”为真命题，
则△＝16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则，
解得：1＜a≤4．
故实数a的取值范围为（1，4]．
故选：A．
6．【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【解答】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，
②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，
③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，
④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，
综合①②③④得：
读了该篇文章的学生是乙，
故选：B．
7．【分析】由题意可得0＜2B＜，且＜3B＜π，解得B的范围，可得cosB的范围，由正弦定理求得a＝4cosB，根据cosB的范围确定出a范围即可．
【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝2B，
∴0＜2B＜，且B+A＝3B，
∴＜3B＜π．
∴＜B＜，
∴＜cosB＜，
∵b＝2，A＝2B，
∴由正弦定理可得：a＝＝＝4cosB，
∴可得：2＜4cosB＜2，
则a的取值范围为（2，2）．
故选：A．
8．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．
【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，
故排除A和B．
当x＝时，函数的值也为0，
故排除C．
故选：D．
9．【分析】根据导数公式先求出f'（x），然后令x＝2即可得到f'（2）的值．
【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+ex，
∴f'（x）＝2x+3f'（2）+ex，
令x＝2，
则f'（2）＝4+3f'（2）+e2，
即﹣2f'（2）＝4+e2，
∴f'（2）＝﹣﹣2．
故选：D．
10．【分析】令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．
【解答】解：对于函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4＝1，求得x＝﹣3，y＝2，
可得函数的图象恒过点A（﹣3，2），
且点A在角θ的终边上，∴tanθ＝＝﹣，则sin2θ＝＝＝﹣，
故选：C．
11．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
12．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y＝g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）＝9求得x1、x2满足的条件，再求|x1﹣x2|的可能取值．
【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），
将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，
若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；
解得x＝+，k∈Z；
其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，
∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．
故选：B．
二、填空题（每题5分，共4题）
13．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）＝xlnx，得
，
∴f′（1）＝ln1+1＝1，
即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，
则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
整理得：x﹣y﹣1＝0．
故答案为：x﹣y﹣1＝0．
14．【分析】根据f（x）的解析式可看出，x＜1时，满足f（x）≤3；x≥1时，由f（x）≤3可得，，从而得出1≤x≤9，这样便可得出x的取值范围．
【解答】解：①∵x＜1；
∴x﹣1＜0；
∴ex﹣1＜1；
∴x＜1时，f（x）≤3成立；
②x≥1时，由f（x）≤3得，；
∴x≤9；
∴1≤x≤9；
∴x≤9；
∴x的取值范围为：（﹣∞，9]．
故答案为：（﹣∞，9]．
15．【分析】已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2＝cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝①，
（sinα+sinβ）2＝sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝②，
①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，
即cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，
则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣．
故答案为：﹣
16．【分析】根据题意，做出函数的草图，利用数形结合判断a、b、c
的范围与关系，然后求解2a+2b+2c的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数＝，其草图如图
若互不相等的实数a，b，c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），
设f（a）＝f（b）＝f（c）＝m，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有3个不同的交点，分别为（a，m），（b，m），（c，m），
且0＜m＜1，
结合函数的图象：有a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），
当m→1时，表达式2a+2b+2c的值趋向最小值：0+2+24＝18，
当m→0时，表达式2a+2b+2c的值趋向最大值：1+1+25＝34．
则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．
故答案为：（16，34）．
三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）
17．【分析】（1）由p：|2x﹣5|≤3是真命题，解含绝对值不等式的性质能求出x的取值范围．
（2）由P：1≤x≤4，q：（x﹣2）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件得到：当a≥2时，q：2≤x≤a，当a＝2时，q：x＝2，当a＜2时，q：a≤x≤2，利用分类讨论思想能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命题，
∴|2x﹣5|≤3，∴﹣3≤2x﹣5≤3，
解得1≤x≤4，
∴x的取值范围是[1，4]．
（2）由（1）知：P：1≤x≤4，
q：x2﹣（a+2）x+2a＝（x﹣2）（x﹣a）≤0，
p是q的必要不充分条件
当a≥2时，q：2≤x≤a，故满足a≤4，即2＜a≤4，
当a＝2时，q：x＝2，满足条件；
当a＜2时，q：a≤x≤2，故满足a≥1，即1≤a＜2．
综上所述a的取值范围是[1，4]．
18．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）＝sin（2ωx+），利用其最小正周期为4π可求得ω；
（2）由（1）知，f（x）＝sin（x+），利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）∵f（x）＝sinωxcosωx+cos2ωx﹣
＝sin2ωx+cos2ωx+﹣
＝sin（2ωx+），
∵T＝＝4π，
∴ω＝．
（2）∵f（x）＝sin
∵﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z
∴﹣π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[﹣+4kπ，+4kπ]（k∈Z）．
19．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosA＝，进而可求A的值；
（Ⅱ）根据三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求可得b+2c＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），结合范围B∈（0，），利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，sinB﹣sinC＝sin（A﹣C），
∴sin（A+C）﹣sinC＝sin（A﹣C），
即sinAcosC+cosAsinC﹣sinC＝sinAcosC﹣cosAsinC
∴2cosAsinC＝sinC≠0，
∴cosA＝，
∴A＝．
（Ⅱ）∵由，
可得b+2c＝2（sinB+2sinC）
＝2[sinB+2sin（120°﹣B）]
＝2（2sinB+cosB）
＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），
由B∈（0，），存在B使得B+φ＝，
∴sin（B+φ）的最大值为1，
∴b+2c的最大值为2．
20．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．
（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝30°，…1分
在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分
∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分
∴∠ADC＝120°，或60°，…4分
又∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝120°…6分
（Ⅱ）∵BD＝2DC，
∴BC＝3DC，
在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，
∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分
令∠ADB＝θ，由余弦定理：
在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分
在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分
可得：，
∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分
21．【分析】（I）求出导函数，得出函数的单调区间；
（II）求导函数，判断函数在区间上的单调性，然后求出最小值．
【解答】解：（I）f（x）＝x2+1﹣lnx∴f'（x）＝2x﹣＝，
∴当x在（，+∞）时，f'（x）＞0，函数递增，
当x在（0，）时，f'（x）＜0，函数递减，
故函数的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；
（II）由g（x）＝f（x）﹣x＝x2﹣x+1﹣lnx，
得g'（x）＝，x∈，令g'（x）＝0，则x＝1，
∴g（x）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴g（x）min＝g（1）＝1，
∴函数的最小值为1．
22．【分析】（ I）求出函数的f（x）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．
（ II ）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．
【解答】（共14分）
解：（ I）f（x）定义域为（0，+∞）.
．
由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．
当a＝1时，．
所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．
所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．
所以函数f（x）在x＝1时取得极小值，其极小值为f（1）＝0，符合题意
所以a＝1．……………………………………………………………………（5分）
（ II ）令，由0＜a＜1，得．
所以．
所以f（x）减区间为，增区间为．
所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．
因为0＜a＜1，所以．
所以．所以．
因为，
又因为0＜a＜1，所以a﹣2+e＞0．
所以．
根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．
因为x＞lnx，f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx＞ax2+（a﹣2）x﹣x＝x（ax+a﹣3）．
令ax+a﹣3＞0，得．
又因为0＜a＜1，所以．
所以当时，f（x）＞0．
根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．
所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）