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- 2021-04-20 发布
绝密★启用前
高三美术班第二次月考文数试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题每小题5分，12小题共60分。
1．已知集合2，3，，，则
A． B． C． D．
2．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为
A．1 B． C． D．
3．如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是
A．该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高
B．该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势
C．该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为万元
D．该小卖部2018年前五个月的总利润为万元
4．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为
A． B． C． D．
5．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．12
7．在等差数列中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．若点P在平面区域上，点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最小值为
A．－1 B．－1 C．2－1 D．－1
9．在复平面内，复数对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题每小题5分，4小题共20分。
13．已知实数满足不等式组，则的最小值为______．
14．在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则__
15．已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为__________．
16．执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为_______．
三、解答题写出必要的文字说明和步骤。17题----21题每题12分，22题10分。
17．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的最大值及取得最大值时的的集合．
18．在如图所示的多面体中，，平面 ．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．
19．某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．
组别
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的概率
第1组
[15,25)
5
0.5
第2组
[25,35)
0.9
第3组
[35,45)
27
第4组
[45,55)
0.36
第5组
[55,65)
3
（1）分别求出的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
20．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；
若圆与圆相交于点，求弦的长．
22．已知函数．
求不等式的解集；
若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围．
美术班文科数学参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出的定义域，化简集合，根据交集的定义求解即可.
【详解】
因为，，
所以，故选C．
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2．C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数及虚部的定义求解即可.
【详解】
，
，
则的共轭复数的虚部为，故选C．
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．D
【解析】
【分析】
由图中数据，分别求出5个月的利润，根据中位数的定义求出利润的中位数，结合选项即可判断．
【详解】
前五个月的利润，一月份为万元，
二月份为万元，三月份为万元，
四月份为万元，五月份为万元，
故选项错误；其利润的中位数万元，故C错误；
利润总和为万元，故D正确．
【点睛】
本题主要考查对折线图理解与的应用，中位数的求解方法，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力以及数形结合思想的应用，属于中档题．如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数.
4．D
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于、 、的方程组，求出、，即可得结果.
【详解】
依题意椭圆：的离心率为得，
椭圆的长轴长与焦距之和为6，，
解得，，则，
所以椭圆的标准方程为：，故选D．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
5．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式，求得的值，再利用倍角公式，即可求解.
【详解】
因为锐角满足，所以也是锐角，
由三角函数的基本关系式可得，
则，故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
先由三视图还原该几何体，然后求出其表面积即可。
【详解】
由三视图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图），三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，三棱锥的底面为，，可求出等腰三角形的面积为2，该几何体的表面积为=，
故答案为C.
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图问题，属于中档题。
7．C
【解析】
【分析】
利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.
【详解】
在等差数列{an}中，由与作和得：
=（）+-（）
∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．
∴a5=6．
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．
8．A
【解析】
【分析】
作出可行域，将|PQ|的最小值转化为圆心到可行域的最小值，结合图形，求出的最小值，减去半径得的最小值．
【详解】
作出可行域，要使|PQ|的最小，只要圆心F（0，﹣2）到P的距离最小，
结合图形当的交点C（-1,0）处时，|FP|最小为
又因为圆的半径为1, 故|PQ|的最小为-1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划和圆有关的最值问题，转化为数形结合的解题思想方法，属于中档题．
9．A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
，
复数对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10．B
【解析】
【分析】
利用指对函数的单调性即可比较大小.
【详解】
解：因为，
所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题.
11．B
【解析】
【分析】
根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.
【详解】
当时，若，可得
又，可知
本题正确选项：
【点睛】
本题考查面面平行的判定，属于基础题.
12．A
【解析】
【分析】
根据的奇偶性排除；判断时，的符号可排除，从而得到结果.
【详解】
定义域为：
为奇函数，可排除；
当时，，可排除，从而可得正确
本题正确选项：
【点睛】
本题考查具体函数图象的识别问题，解题常用方法为排除法，排除法验证的顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.
13．-6
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出实数满足不等式组表示的平面区域，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
当目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，
的最小值为．故答案为．
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．4
【解析】
【分析】
由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
，
由正弦定理可得，，即：，
由余弦定理可得，，
可得，
的面积为，可得，
解得，故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
15．
【解析】
分析：有数量积公式计算出,再计算与的夹角
详解：，=
||=
设向量与的夹角为，
所以
点睛：本题主要考查向量的数量积，向量的夹角，属于基础题。
16．
【解析】
初始
5
0
第一次
9
1
第二次
17
2
第三次
33
3
第四次
65
4
第四次时,,所以输出.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
17．（1）；（2），的最大值为.
【解析】
（1）先化简，
再由即得递增区间为.
（2）由已知，.
解：（1），
当即，
因此，函数的单调递增区间为.
（2）由已知，，
∴当时，.
∴ 当，的最大值为.
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质推导出，，结合，可得，进而，由此能证明平面；由(1)可得是到平面的距离，等于到平面
的距离,根据“等积变换”可得，，由此能求出结果．
【详解】
多面体中，，平面ADE，
平面ADE，平面ADE，
，，
，，
，又平面ABEF，，
，平面EFCD．
平面ADE，平面EFCD，
，，
三棱锥的体积：
．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
19．（1）；（2）人，人，1人；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由统计表可求得第１组的人数，再由频率分布直方图可得到第１组人数点总体人数的频率（等于对应矩形方块的高度矩形方块的宽度），从而就可得到总体的人数n；进而就可求得其余各组的人数，再由统计表就可计算出a,b,x,y的值；（2）分层抽样方法就是各层按照相同的比例抽样：其抽取的比例为：结合（１）结果就可得到各组所抽取的人数；（３）将从（２）中抽取的6人按组别用不同的字母表示,然后用树图方式列出从中抽取2人的所有可能情况,数出全部情况总数,最后从中数出第2组至少有1人的情况的种数,从而就可求得所求的概率.
试题解析：（1）第1组人数， 所以，
第2组人数，所以，
第3组人数，所以，
第4组人数，所以，
第5组人数，所以. 5分
（2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人. 8分
（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：
，，，，，，，，，，，，，，. 12分
其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是： ，，，，，，，，.
故所求概率为. 14分
考点：1. 频率分布表和频率分布直方图;2.抽样方法;3.古典概率.
20．（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．
【详解】
抛物线C：的焦点为，
准线方程为，
即有，即，
则，解得，
则抛物线的方程为；
在x轴上假设存在定点其中，
使得与向量共线，
由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，
可得x轴平分，
设，，
联立和，
得，
恒成立．
，
设直线DA、DB的斜率分别为，，
则由得，
，
，
联立，得，
故存在满足题意，
综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，
即与向量共线．
【点睛】
本题考查抛物线的方程、定义和性质，以及直线和抛物线的位置关系、转化与划归思想的应用，属于综合题．存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.
21．(1),；（2）4.
【解析】
【分析】
利用平方法消去参数方程中的参数，可得普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得直角坐标方程；利用两圆方程相减，首先求出公共弦所在的直线方程，进一步利用点到直线的距离公式，判定圆心在直线上，从而求出弦长．
【详解】
)圆的参数方程为，为参数，
可得，
平方相加转换为直角坐标方程为：．
圆的极坐标方程为
可得,
转换为直角坐标方程为：，
即：．
由于，
整理得：．
所以圆心到直线的距离，
圆心在直线上，
所以弦长．
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用．参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，利用关系式，
等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
22．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；利用绝对值三角不等式求出的最小值为，解不等式，即可得结果．
【详解】
不等式，即，
可化为，或，
或，
解无解，解得，解得，
综合得：，即原不等式的解集为．
因为，
关于x的方程存在实数解，
有解，则解得：或．
实数m的取值范围为或．
【点睛】
绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．