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- 2021-04-20 发布
第2讲 空间几何体的表面积与体积
最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
知 识 梳 理
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方.( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.( )
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).
答案 B
3.(2017·绍兴一中月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π B.4π C.2π＋4 D.3π＋4
解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示.
表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.
答案 D
4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π B.π
C.8π D.4π
解析 设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝a，即R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案 A
5.(2016·天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m.
故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2 (m3).
答案 2
6.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，
则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：
其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2).
答案 72 32
考点一 空间几何体的表面积
【例1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A.8＋2 B.11＋2
C.14＋2 D.15
(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
A.17π B.18π
C.20π D.28π
解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.
所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
(2)由三视图知该几何体为球去掉了球所剩的几何体(如图).
设球的半径为R，
则×πR3＝，R＝2.
故几何体的表面积S＝×4πR2＋πR2＝17 π.
答案 (1)B (2)A
规律方法 空间几何体表面积的求法.
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A.18＋36 B.54＋18
C.90 D.81
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.
由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为＝3.故该几何体的表面积S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×3)×2＝54＋18.
答案 B
考点二 空间几何体的体积
【例2】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.＋π B.＋π
C.＋π D.1＋π
(2)(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________.
解析 (1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋×π×＝＋π.
(2)设PD＝DA＝x，
在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝
＝＝2，
∴CD＝2－x，且∠ACB＝(180°－120°)＝30°，
∴S△BCD＝BC·DC×sin∠ACB＝×2×(2－x)×＝(2－x).
要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.
则V四面体PBCD＝×(2－x)x＝[－(x－)2＋3]，由于0＜x＜2，故当x＝时，V四面体PBCD的最大值为×3＝.
答案 (1)C (2)
规律方法 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，
则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
【训练2】 (1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C.2π D.4π
(2)(2015·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3.
解析 (1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥的组合体，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝.
(2)由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面边长为2 cm正方形、高为2 cm的正四棱锥组成.
又正方体的体积V1＝23＝8(cm3)，
正四棱锥的体积V2＝×22×2＝(cm3).
所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3).
答案 (1)B (2)
考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁移)
【例3】 (经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π B. C.6π D.
解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC
的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
答案 B
【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.
解 将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，
则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.
∴体对角线BC1的长为球O的直径.
因此2R＝＝13.
故S球＝4πR2＝169π.
【迁移探究2】 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积.
解 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
则球O的体积V球＝πr3＝π×＝.
规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法.
(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
[思想方法]
1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
2.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.
[易错防范]
1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.
2.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.
3.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.