2019-2020学年山东省青岛市黄岛区高二上学期期中数学试题（解析版） 18页

‎2019-2020学年山东省青岛市黄岛区高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.‎ 故选A.‎ ‎2．双曲线的虚轴长等于（ ）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可．‎ ‎【详解】‎ 双曲线，可得b=1，‎ 所以双曲线的虚轴长等于2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．‎ ‎3．已知直线与直线平行，则（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与直线平行，‎ 所以，即，解得：或，‎ 当时，与重合，不满足题意，舍去；‎ 当时，与平行，满足题意.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.‎ ‎4．观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第20项等于（ ）‎ A．2020 B．20 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数．‎ ‎【详解】‎ 由数列得出规律，按照1，，，…，‎ 是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，‎ 由，‎ 所以该数列的第20项为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．‎ ‎5．若点在椭圆：，，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ）‎ A． B．3 C．4 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆方程算出c，从而中得到，结合椭圆的定义联解，得到，最后用直角三角形面积公式，即可算出的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆C：，‎ ‎∴a2=4，b2=1．可得，‎ 因此中，，由勾股定理得 ‎ ①‎ 根据椭圆的定义，得 ②‎ ‎①②联解，可得，‎ ‎∴的面积．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题．‎ ‎6．已知正项等比数列的前项和为，，，，则（ ）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正项等比数列的公比为q＞0，利用通项公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设正项等比数列的公比为q＞0．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 解得：，，‎ 则.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（ ）‎ A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎【答案】D ‎【解析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．‎ ‎【详解】‎ 化圆：为，‎ 可得圆的圆心坐标为，半径为7；‎ 由圆：的圆心坐标为，半径为2，‎ ‎∴，而，‎ ‎∴两圆的位置关系为内切．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．‎ ‎8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴）‎ 所以只要求出椭圆的c和a，‎ 由题意，结合图形可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力．‎ ‎9．已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆心，半径，‎ 由几何知识可得，圆心C到直线l的距离，‎ 解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题．‎ ‎10．若等差数列的前项和为，，，，则 的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】推导出，，，由此能求出的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列的前n项和为，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 的最大值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ 二、多选题 ‎11．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．‎ ‎【详解】‎ 当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；‎ 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，‎ 求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；‎ 综上知，所求的直线方程为、，或．‎ 故选：ABC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．‎ ‎12．已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）‎ A．椭圆方程为 B．椭圆方程为 C． D．的周长为 ‎【答案】ACD ‎【解析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．‎ ‎【详解】‎ 由已知得，2b=2，b=1，，‎ 又，解得，‎ ‎∴椭圆方程为，‎ 如图：‎ ‎∴，的周长为．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎13．已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）‎ A． B．为中点 C． D．‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：作准线于，轴于，准线于.‎ 直线的斜率为，故，，，故，.‎ ‎，代入抛物线得到；‎ ‎，故，故为中点；‎ ‎，故；‎ ‎，，故；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.‎ 三、填空题 ‎14．准线方程为的抛物线的标准方程是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，‎ 设其方程为，‎ 则其准线方程为，得．‎ 该抛物线的标准方程是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．‎ ‎15．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的离心率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ 双曲线C：的一条渐近线，‎ 由于一条渐近线与直线垂直，‎ 则有，‎ ‎，‎ 则离心率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知等差数列的首项为1，公差不为零，若，，成等比数列，则数列 的前8项的和为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的首项为1，公差d不为零，若，，成等比数列，‎ 可得，即，‎ 解得（0舍去），‎ 数列的前8项的和为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎17．已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，‎ 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，‎ 即，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；‎ 四、解答题 ‎18．已知等差数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设等差数列的公差为，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以数列的通项公式为：.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎19．在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或 ‎【解析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；‎ ‎（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线的斜率，中点坐标为，‎ 所以中垂线方程为，即，‎ 由得，圆心，所以，‎ 所以圆的标准方程为：.‎ ‎（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，‎ 当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，‎ 因为该直线与圆恰有1个公共点，‎ 所以圆心到直线距离，得.‎ 所以切线方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎20．已知为坐标原点，点和点，动点满足：.‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；‎ ‎（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，‎ 为焦点的双曲线的右支；‎ ‎（2）或 ‎【解析】（1）由动点满足，可得到轨迹曲线为双曲线的右支；‎ ‎（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为，后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据双曲线的定义：‎ 点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支 且，所以，，，，‎ 所以动点的轨迹方程为：.‎ ‎（2）因为曲线的顶点为，所以抛物线的方程为：，‎ 当直线斜率不存在时，不满足题意，‎ 设直线：，‎ 由抛物线的定义知：，，，‎ 所以，‎ 将代入得：，‎ 所以，解得，‎ 所以直线的方程为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用抛物线的定义求其弦长公式即可快速求解，属于中档题．‎ ‎21．已知为坐标原点，定点，定直线：，动点到直线的距离为，且满足：.‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线：与曲线交于，两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设，P到F的距离，P到定直线l的距离为，进而求解；‎ ‎（2）设，，联立直线方程和椭圆方程，求出t的取值范围，进而由三角形面积公式求解；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设点，由题知：，‎ 所以，‎ 整理得点的轨迹方程为：.‎ ‎（2）将带入 得：，‎ 所以，，‎ 得，‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当即时等号成立满足，‎ 面积最大值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）考查椭圆轨迹方程解析式求解；，点到直线距离，点到点的距离公式应用；‎ ‎（2）考查圆锥曲线与直线相交，求三角形面积最值问题，解决本题的关键点在于怎么表示三角形的面积；‎ ‎22．已知数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）已知曲线若为椭圆，求的值；‎ ‎（3）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用的递推公式证明出为非零常数，即可得出结论；‎ ‎（2）利用（1）中的结论求出，由与之间的关系求出，结合题意得出，可求出的值；‎ ‎（3）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对任意的，，则且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；‎ ‎（2）由（1）可得，.‎ 当时，，‎ 也适合上式，所以，.‎ 由于曲线是椭圆，则，即，‎ ‎，解得或；‎ ‎（3），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①②得，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎23．已知为坐标原点，椭圆：上顶点为，右顶点为，离心率，圆：与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，，为椭圆上的三个动点，直线，，的斜率分别为.‎ ‎（i）若的中点为，求直线的方程；‎ ‎（ii）若，证明：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）由离心率和直线AB与圆相切分别得到a，b的关系式，求解得椭圆的方程；‎ ‎（2）（i）由点差法求出直线EF的斜率，然后写出方程；‎ ‎（ⅱ）由直线DE、DF与椭圆的相交关系，分别求出E、F两点的横坐标，再利用，求得，另设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示，求得，故得结论直线EF过定点．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意，直线的方程为：，即为，‎ 因为圆与直线相切，所以，①‎ 设椭圆的半焦距为，因为，，‎ 所以②‎ 由①②得：，，所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）设，，，‎ ‎（i）由题知：，，‎ 两式做差得：，，‎ 整理得：，‎ 所以此时直线的方程为：；‎ ‎（ii）设直线：，设直线：，‎ 将代入，‎ 得：，‎ 所以，，‎ 因此.‎ 又因为，且同理可得：，‎ 可得，‎ 设直线的方程为：，将代入，‎ 得：，‎ 得，所以，‎ 所以直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的基本的几何性质，考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，属于难题．‎