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- 2021-04-20 发布
2017-2018学年河南省南阳市八校高二上学期期中联考数学（理）试题
一、选择题
1．在中，角， ， 所对的边分别为， ， ，若， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】得， ，
所以由正弦定理可知， ，故选D。
2．在中，角， ， 所对的边分别为， ， ，若，其中，则角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理可知， ，得，
所以角最大值为，故选B。
3．设， ，若，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则B、D错，排除；
令，则C错，排除；
故选A。
4．如图，要测出山上信号发射塔的高，从山脚测得，塔顶的仰角为，塔底的仰角为，则信号发射塔的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知， ，的、得，
由正弦定理可知， ，解得，故选B。
5．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，得， ， ，
又时，得， ，
所以，故选D。
6．若数列满足， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ，故选C。
7．在中，角， ， 所对的边分别为， ， ，若， 的面积为，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】由得， ，
又，得，
，所以，故选A。
8．2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚处出发，沿一个坡角为的斜坡直行，走了 后，到达山顶处， 是与在同一铅垂线上的山底，从处测得另一山顶点的仰角为，与山顶在同一铅垂线上的山底点的俯角为，两山， 的底部与在同一水平面，则山高（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由题可知， ，
所以， ， ，故选D。
点睛：解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解。在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。
9．某船开始看见灯塔时在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设船开始位置为，最后位置为，灯塔位置为，则，
，由正弦定理得： ，即，解得
，则这时船与灯塔的距离是，故选D.
10．已知数列为等差数列， ， ，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，得， ，
所以时， ； 时，
所以，
故选C。
11．已知过点的直线的倾斜角为，设点是直线在第一象限内的部分上的一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得直线，所以点满足，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故选C。
点睛：本题求最小值，考察的是基本不等式的“1”的妙用，根据条件得到，则，再利用基本不等式解题即可，最后注意等号成立的条件即可。
12．已知等比数列的前项和为，满足， ， 成等差数列，且，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意， ，得， ，又，得，
所以，得，
因为递增数列，所以，
所以，得，故选B。
点睛：等差等比数列的常规题型利用基本量法解题，求得首项和公比，三项成等差利用等差中项公式；数列的单调性利用后项减去前项判断，如本题中的新数列递增，则，；本题最后的恒成立问题则采取函数性质处理。
二、填空题
13．不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】， ，得或，
所以解集为。
14．若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．
【答案】
【解析】令，则，对称轴，
由复合函数的单调性性质可知， 在单调递减， 单调递增，
又为整数，则
当时， ；当时， ，
因为，所以最小项为。
点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质。本题中利用复合函数的单调性性质，得到数列在单调递减， 单调递增，再根据为整数，计算，比较大小即可。
15．已知实数， 满足条件则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
由图可知，过点时， 。
16．在中， ，在边上存在一点，满足，作， 为垂足，若为的最小内角，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由题意可知， ，又由正弦定理可知，
， ，
所以，又，得，
所以。
三、解答题
17．已知，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】试题分析：含参不等式问题，采取分离参数法，得到，则只要即可， ，所以， 。
试题解析：由题意，得，则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
， 。
18．已知实数， 满足
（1）设，求的最小值；
（2）设，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：先画出本题的可行域区域，（1）表示点与的斜率；（2）表示点与点的距离的平方，再减1.
试题解析：
如图，
（1）表示点与的斜率，所以过点时，斜率最小，
即；
（2）， 表示点与点
的距离的平方，由图可知，
过点时，距离最小， ；
过点时，距离最大， ，
的取值范围是。
19．在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，且．
（1）证明： ；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）先对条件进行切化弦，得到，再进行通分化简得到，最后正余弦定理进行角化边，得到答案证明；（2）利用第（1）题结论求出，进一步通过余弦定理求出，得到，通过面积公式解出答案。
试题解析：
（1）， ，
，
，
，
，证毕。
（2），又由，可知， ，
， ，
20．已知中， ， ， 分别是角， ， 的对边，
内部的一点满足， ．若，且．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）；(2) .
【解析】试题分析：（1）边化角得到，解得，又由，得到，解得答案；（2）由可知， 是的重心，所以得到，两边平方可得，又由正弦定理可知，可求出，进一步求出面积。
试题解析：
（1）， ，
，
， ，又， ，
。
（2）由可知， 是的重心，
，两边平方得，
又，得，
。
点睛：（1）解三角形中边角转化的技巧要熟悉应用，本题中利用正弦定理进行边化角，再通过和差公式及三角形内角和为108°，解得答案；（2）对三角形的性质要熟悉，本题中可知， 是的重心，再得到，向量关系到长度关系的转化一般应用平方去处理，随后解得答案。
21．已知数列满足， ．
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求证： ．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1），得到是等比数列，再解得，得到；（2），通过裂项相消，则。
试题解析：
（1）有题可知， ，则，首项，
是以2为首项，2为公比的等比数列。
，得。
（2），
22．已知在公差不为零的等差数列中， 和的等差中项为11，且，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）求证： ．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意可知， ，解得，则；（2），则，则。
试题解析：
（1）由题意可知， ，则，解得
，
。
（2）， ，
，得证。
点睛：（1）基本量法的应用在基础数列题型中非常适用，通过方程思想解出，得到通项公式；（2）数列的放缩法技巧性比较高，学生要熟悉常用的放缩方法，本题采取裂项相消的放缩方法，将，之后裂项相消求和就可以完成证明。