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- 2021-04-20 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B= ．
2．已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m= ．
3．若函数的最小正周期为，则正数k= ．
4．函数f（x）=的定义域为 ．
5．若角α的终边经过点（﹣4，3），则sinα的值为 ．
6．已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为 ．
7．若f（x）=，则f（f（））= ．
8．已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为 ．
9．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间为 ．
10．已知，且﹣π＜θ＜﹣，则= ．
11．已知函数f（x）=lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n= ．
12．已知定义在上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为 ．
13．函数f（x）=﹣4x3+kx，对任意的x∈，总有f（x）≤1，则实数k的取值为 ．
14．已知函数f（x）=x2﹣mx对任意的x1，x2∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）
（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值；
（2）当实数m=﹣1时，求的值．
16．已知函数f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．
17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
18．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；
（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．
19．已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．
20．已知函数f（x）=lnx．
（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲线y=h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；
（2）设g（x）=f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；
（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k的取值范围．
2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B= {1，3} ．
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】由集合的交集的定义：由两集合的公共元素构成的集合，即可得到所求．
【解答】解：集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，
则A∩B={1，3}．
故答案为：{1，3}．
2．已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m= 4 ．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．
【解答】解：（2+i）（m﹣2i）=2m+2+（m﹣4）i是实数，
则m﹣4=0，解得m=4．
故答案为：4．
3．若函数的最小正周期为，则正数k= 3 ．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】先根据三角函数的性质表示出函数的最小正周期，进而根据最小正周期求得k．
【解答】解：∵函数最小正周期为，
∴=
∴k=3
故答案为：3
4．函数f（x）=的定义域为 =sin（+θ）=﹣．
故答案为：．
11．已知函数f（x）=lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n= 5 ．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】判断的单调性以及函数的连续性，然后利用零点判定定理求解即可．
【解答】解：函数f（x）=lgx+x﹣9是连续的单调增函数，
f（5）=lg5+＜0，
f（6）=lg6+9﹣9＞0，
因为f（5）f（6）＜0，
所以函数的零点在（5，6）之间，
所以n=5．
故答案为：5．
12．已知定义在上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为 上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，
则函数f（x）为奇函数，
又由且，则函数f（x）在其定义域上为减函数，
若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则有f（1﹣t）＜f（t2﹣1），
则有，解可得﹣1≤t＜1，
即实数t的取值范围为，总有f（x）≤1，则实数k的取值为 3 ．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】通过讨论x的范围问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立且k≥4x2+在恒成立，
x=0时，显然成立，
x∈（0，1]时，问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立，
令g（x）=4x2+，x∈（0，1]，
g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：x＞，
令g′（x）＜0，解得：x＜，
故g（x）在（0，）递减，在（，1]递增，
故g（x）min=g（）=3，
故k≤3，
x∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围 ．
【考点】3R：函数恒成立问题．
【分析】依题意，f（x）max﹣f（x）min≤9，函数f（x）=x2﹣mx的对称轴方程为：x=，分①若≤0，即m≤0时，②若0＜≤1，即0＜m≤2时，③若1＜≤2，即2＜m≤4时，④若＞2，即m＞4时，四类讨论，利用二次函数的单调性与最值分别求得各类中m的取值范围，最后取并即可得到答案．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣mx对任意的x1，x2∈，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，
∴f（x）max﹣f（x）min≤9，
∵函数f（x）=x2﹣mx的对称轴方程为：x=，
①若≤0，即m≤0时，函数f（x）=x2﹣mx在区间上单调递增，f（x）max=f（2）=4﹣2m，f（x）min=f（0）=0，依题意，4﹣2m≤9，解得：m≥﹣，即﹣≤m≤0；
②若0＜≤1，即0＜m≤2时，同理可得，f（x）max=f（2）=4﹣2m，f（x）min=f（）=﹣，依题意，4﹣2m﹣（﹣）≤9，解得：﹣2≤m≤10，即0＜m≤2；
③若1＜≤2即2＜m≤4时，同上得：f（x）max=f（0）=0，f（x）min=f（）=﹣，依题意，0﹣（﹣）≤9，解得：﹣6≤m≤6，即2＜m≤4；
④若＞2即m＞4时，函数f（x）=x2﹣mx在区间上单调递减，f（x）max=f（0）=0，f（x）min=f（2）=4﹣2m，依题意，0﹣（4﹣2m）≤9，解得：m≤，即4＜m≤；
综合①②③④得：﹣≤m≤．
故答案为：．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．已知复数z=（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）
（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M的值；
（2）当实数m=﹣1时，求的值．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，可得m2+5m+6=m2﹣2m﹣15，解得m．
（2）当实数m=﹣1时，z=（1﹣5+6）+（1+2﹣15）i=2﹣12i．再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，
所以m2+5m+6=m2﹣2m﹣15，…
解得m=﹣3．…
（2）当实数m=﹣1时，z=（1﹣5+6）+（1+2﹣15）i=2﹣12i．…
∴，
所以的值为．…
16．已知函数f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GI：三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数式f（α）的解析式，可得结果．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得 sinα•cosα 的值，结合 sinα与cosα 的符号，可得（sinα﹣cosα）2的值，可得sinα﹣cosα的值．
【解答】解：（1）f（α）==+=sinα+cosα=sin（α+）．
（2）由，平方可得，
即，∴sinα•cosα=﹣，∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，
又，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=﹣．
17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）求出振幅与周期，利用特殊点求解φ，求出函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．
（2）求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：（1）由图象得A=2．最小正周期T=.，
所以f（x）=2sin（2x+φ）．…
由得，，
又|φ|＜π得，所以，所求函数的解析式为．…
由得．所以，
函数f（x）的单调减区间为．…
（2），
，
即f（x）的取值范围是．…
18．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额﹣成本）；
（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；5D：函数模型的选择与应用．
【分析】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，推出当0≤x＜80时，当x≥80时，的函数的解析式即可．
（2）当0≤x＜80时，利用函数的导数求解函数的最值，当x≥80时，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果．
【解答】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
依题意得，当0≤x＜80时， =，
当x≥80时， =．
…
（2）当0≤x＜80时，．
，x=±60．
此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950（万元）…
当x≥80时，，…
当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值1000（万元）．
因为950＜1000，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．
答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．…
19．已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）+f（﹣x）=0，即loga+loga=0，结合对数的运算性质可得（）（）=1，解可得m的值，验证即可得答案；
（2）由（1）可得函数的解析式，设x1＞x2＞1，结合对数的运算性质可得f（x1）﹣f（x2）=loga（），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论f（x1）﹣f（x2）的符号，综合可得答案；
（3）由（1）可得函数的解析式，进而求出函数f（x）的定义域，分n＜a﹣2＜﹣1和1＜n＜a﹣2两种情况讨论，求出a、n的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函数，
则有f（x）+f（﹣x）=0，
即loga+loga=0，
则有loga（）（）=0，
即（）（）=1，
解可得：m=±1，
当m=1时，f（x）=loga，没有意义，
故m=﹣1，
（2）由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga，
设x1＞x2＞1，
f（x1）﹣f（x2）=loga﹣loga=loga=loga（），
又由x1＞x2＞1，
则0＜＜1，
当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）为减函数，
当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）为增函数，
（3）由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga，
其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
当n＜a﹣2＜﹣1时，有0＜a＜1，
此时函数f（x）为增函数，有，无解；
当1＜n＜a﹣2时，有a﹣2＞1，即a＞3，
此时函数f（x）为减函数，有，解可得a=2+；
故n=1，a=2+．
20．已知函数f（x）=lnx．
（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲线y=h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；
（2）设g（x）=f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；
（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，计算h′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（3）通过讨论k的范围，求出函数的单调性，结合题意求出k的范围即可．
【解答】解：（1）x＜0时，h（x）=f（﹣x）+2x，h（x）是偶函数，
故h（x）=lnx﹣2x，（x＞0），
h′（x）=﹣2，故h′（1）=﹣1，
故切线方程是：y+2=﹣（x﹣1），
即x+y+1=0；
（2）g（x）=lnx﹣mx，（x＞0），
g′（x）=﹣m，
m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，函数无极值，
m＞0时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：x＞，
故g（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
故g（x）的最大值是g（）=﹣lnm﹣1；无极小值；
（3）证明：设g（x）=f（x）﹣x2﹣（k﹣1）x+k﹣，x∈（1，+∞），
则g′（x）=，
当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；
①当k=1时，由（2）知，当x＞1时，f（x）＜x﹣1，
此时不存在x0＞1，不满足题意；
②当k＞1时，x＞1，f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），
此时不存在x0＞1，不满足题意；
③当k＜1时，设h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x＞1，
则h′（x）=，
令h′（x）=0，即﹣x2+（1﹣k）x+1=0，
得x1=＜0，x2=＞
1，
所以当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x2）上单调递增，
取x0=x2，所以当x∈（1，x0）时，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x﹣1），
综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1）．