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- 2021-04-20 发布
[2019·长沙检测]在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点．
（1）求和的极坐标方程；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意可得，直线的极坐标方程为．
曲线的普通方程为，
因为，，，
所以极坐标方程为．
（2）设，，且，均为正数，
将代入，得，
当时，，所以，
根据极坐标的几何意义，，分别是点，的极径．
从而．
当时，，故的取值范围是．
1．[2019·安庆期末]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于不同的两点、，求的值．
2．[2019·柳州模拟]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；
（2）若，分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角
坐标．
3．[2019·咸阳模拟]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值．
1．【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程；
（2）．
【解析】（1）直线的普通方程为，即，
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，，，
而，则，即，
故直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程．
（2）点在直线上，且直线的倾斜角为，可设直线的参数方程为：
（为参数），代入到曲线的方程得，
，，
由参数的几何意义知，故．
2．【答案】（1），的参数方程为（为参数）；（2）．
【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去，得，
由，，即，
，即，的参数方程为（为参数）．
（2）设曲线上动点为，则点到直线的距离：，
当时，即时，取得最小值，即的最小值为，
，．
3．【答案】（1）；（2）4．
【解析】（1）可知曲线的普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为，即．
（2）由（1）不妨设，，，
，
所以面积的最大值为4．