- 483.00 KB
- 2021-04-20 发布
高三级数学（理科）质检试题2012年12月
一．选择题。（每小题5分，共40分）
1．集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，x∈R,则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3.已知函数，且，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递增
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
4.设数列是公差为为0的等差数列，是数列的前项和，若成等比数列，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
5．“”是“函数有零点”的( )
A．充分非必要条件 B.充要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为 ( )
A．1 B． C. D．
7．已知满足，则的最大值是( ).
A. B. C. D. 2
⒏定义，其中，，，，且互不相等．则的所有可能且互不相等的值之和等于( ). zxxk
A． B． C． D．以上都不对
二．填空题。（每小题5分，共30分）
9. 设是等差数列的前项和，且，则= .
10．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则= ．
11. . zxxk
12.设抛物线：的准线与对称轴相交于点，
过点作抛物线的切线，切线方程是 ．
13．已知是上的奇函数，，且对任意都有
成立，则 ；
.
14.如图，圆的直径，为圆周上一点，
，过作圆的切线，过作直线的垂线，
为垂足，与圆交于点，则线段的长为 ．
三．解答题（共80分）
15. （本小题满分12分）已知函数
（1）求f（x）的最大值；
（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B＝2A，且-，
求角C的大小．
16．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，
（1）若，，，求角的度数；
（2）若，，，求的值. zxxk
第14题图
17.已知数列是首项为２，公比为的等比数列，为的前项和.
（1）求数列的通项及；
（2）设数列是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列的通项公式及其
前项和.
18.已（本小题满分14分）知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值.
19．（本题满分14分）
设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求.zxxk
20．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与1的大小；
（3）求证：．
高三级数学（理科）质检试题参考答案2012年12月
15.解：（1） ……zxxk…………2分
．（注：也可以化为） …4分
所以的最大值为． …………………………………………………………6分
（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）
（2）因为，由（1）和正弦定理，得．………………7分
又，所以，即， ………………9分
而是三角形的内角，所以，故，， ………………11分
所以，，． ……………………………………12分
16.解：（1）
……………………6分
（2） ……………………7分
得 ……………………8分
……………………10分
……………………12分
18.解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；
令f′(x)＞0，解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,3).
(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)＞f(－2).
因为在区间(－1,3)上，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,2)上单调递增.
又由于f(x)在(－2，－1)上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
于是有22＋a＝20，解得a＝－2，
故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，
因此f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
17. 解：（1）∵数列是首项，公比的等比数列
∴，---------------zxxk------------3分
.------------------------------7分
（2）依题意得数列的公差----zxxk------- 8分
∴
∴--------------------------zxxk---------9分
设数列的前ｎ项和为
则--------------------------------10分
∴.--------- 14分
19.解：（Ⅰ）∵，，，-------------------------------2分
由成等差数列得，，即，
解得，故； ---------------------------------------4分
（Ⅱ）， ---------------------------------------6分
法1：， ①
①得，， ②
①②得，
， ---------------------------------------10分
∴． --zxxk--------------------------14分
20.解：（1）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． zxxk…4分
的极大值是，极小值是．
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数． …………zxxk……………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有， ． ……………12分
，
． ……………………………………14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立． ………zxxk………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
1 2 3
4 5 6 n-1 n
…
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分