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- 2021-04-20 发布
一、选择题
1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对函数，求导可得，∵在点处的切线方程为，∴，∴，∴在点处切线斜率为4，故选C.
2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数满足，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
由，得，
令，得，
解得或（舍去）。
所以切点为。
故点到直线的距离为。
故曲线上的点到直线的最小距离为。
∴的最小值为5。 选C。
点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。
3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得， ，选A.
5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线在点(2,0)处的切线方程为，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】由题可知： ，故切线的斜率为： 由
6．【湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )
A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条
【答案】A
【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以
令，而，所以有三个零点，即切线最多有3条，选A
7．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学】抛物线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．【内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三9月月考】已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线 垂直的切线，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ∵曲线 存在与直线 垂直的切线， 成立，
故选A
9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线
上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由 得 令 ，易得切点的横坐标为 即切点 利用点到直线的距离公式得
故选C
10．【宁夏银川一中2018届高三上学期第二次月考】设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为
A. －1≤a<2 B. －1≤a≤2 C. a≤2 D. 1≤a≤2
【答案】B
点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域； 的值域与的值域交集非空。
二、填空题
11．【四川省成都市郫都区2018届高三阶段测试（期中）】已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则
的值是__________.
【答案】
【解析】依题意得： ， =， ，点处的切线的方程为： ，
即，设切线与曲线的切点为
则，解得： ,∴
故答案为：4
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
12．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是__________.
【答案】
点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：
①已知切点求切线方程；②已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；③已知曲线求切线倾斜角的取值范围．
13．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知曲线上一点，则在点P处的切线的倾斜角为________．
【答案】45°
【解析】∵y＝x2－2，∴
∴当Δx→0时， →x.
∴y′|x＝1＝1，∴在点处的切线斜率为1，
切线倾斜角为45°.
答案：45°
14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.
【答案】3
15．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】若曲线的切线斜率恒为非负数，则实数的最小值是__________．
【答案】0
【解析】根据导函数的几何意义得到，曲线上在某点处的切线即在这个点处的导数值， ， ，根据题意即 在恒成立，变量分离得到 ，其中x的范围是，故得到 ，故a的最小值为0.
故答案为0.
16．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二复习检测试题】一点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移是，那么速度为零的时刻是_______________。
【答案】
【解析】，∴，由，即，∴解得，故答案为.
17．【河南省南阳一中2018届高三上学期第三次考试】经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．
【答案】y=0或9x+4y=0
【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．
三、解答题
18．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2018届高三上学期期中联考】已知函数.
（1）证明：曲线在处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】(1)答案见解析；(2)2.
【解析】试题分析：（1）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；
（2）构造函数，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．
试题解析：（1），所以，
所以，
所以处的切线为，
所以，恒过；
令，可知为减函数，因为，所以整数的值为.
19．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）设，证明：函数图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定值为6.
【解析】试题分析：（1）己知在x=2处的切线方程，切线方程中代入x=2,得y=,所以，可解得a,b.( 2) ,设切点设，求出切线方程及切线在x轴,y轴上的交点A,B坐标，由可求解。
（2）由题意知， .
设为函数图象上的任一点，
则过点的切线方程为，
令，则；令，则，
所以过点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为，
故函数图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6.
【点睛】
可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入
,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。
20．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】求过点且与曲线在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．
【答案】2x－y＋4＝0.
【解析】试题分析：利用导数的定义先求出斜率，再由点斜式写直线方程即可.
点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。
（1）“曲线在点P处的切线”表示点P为切点，且点P在曲线上，过点P的切线只有一条；
（2）“曲线过点P的切线”表示点P不一定在曲线上，即使点P在曲线上时也不一定为切点，此时过点P的切线不一定只有一条。
21．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知曲线y＝x3，求：
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程．
【答案】（1）3x－y－2＝0；（2）3x－y－2＝0
【解析】试题分析：（1）求出y的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设切点为(x0，y0)，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得x0，进而得到切线的方程.
试题解析：
y′＝3x2.
(1)当x＝1时，y′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。
（1）“曲线在点P处的切线”表示点P为切点，且点P在曲线上，过点P的切线只有一条；
（2）“曲线过点P的切线”表示点P不一定在曲线上，即使点P在曲线上时也不一定为切点，此时过点P的切线不一定只有一条。