- 1.75 MB
- 2021-04-20 发布
www.ks5u.com
育才学校2018-2019学年度第二学期期末试卷
高二实验班理科数学
一、选择题。
1.下列说法正确的是( )
A. 若命题均为真命题，则命题为真命题
B. “若，则”的否命题是“若”
C. 在，“”是“”的充要条件
D. 命题“”的否定为“”
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可．
【详解】对于A：若命题p，￢q均为真命题，则q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确；
对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；
对于C：在△ABC中， “”⇔“A+B=”⇔“A=-B”⇒sinA=cosB，
反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，
∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；
对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．
2.若函数，设，，，则，，的大小关系
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合二次函数的性质可得在上为增函数，结合对数的运算性质可得，进而可得，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】根据题意，函数，是二次函数，
其对称轴为y轴，且在上为增函数，
，，，
则有，
则；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题．
3.已知为虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到
【详解】对复数进行化简
所以
【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.
4.已知集合
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简求出集合A，B，进而求出A∩B．
详解】∵集合A={x|≤0}={x|0＜x≤3}，
B={x|x≥0}，
∴A∩B={x|0＜x≤3}．
故选：A．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.已知函数，且，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，可分别考虑分段函数的每一段取值为的情况，即可求解出的值；然后再分别利用每一段函数去考虑的情况.
【详解】函数，可知时，，
所以，可得解得．
不等式即不等式，
可得：或，
解得：或，即
故选：C．
【点睛】利用分段函数求解参数取值时，需要对分段函数的每一段都进行考虑；并且在考虑每一段分段函数的时候，注意定义域.
6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
读懂流程图，可知每循环一次，的值减少4，当时，得到的值.
【详解】根据流程图，可知每循环一次，的值减少4，输入，因为2019除以4余3，经过多次循环后，再经过一次循环后满足的条件，
输出
【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到的值，得到输出值.属于简单题.
7.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案
【详解】
，即
设，
其中时，
时，
即符合要求
，所以时，，单调递减
，，单调递增，为极小值.
有三个整数解，则还有一个整数解为或者是
①当解集包含时，时，
所以需要满足即，解得
②当解集包含时，需要满足即
整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.
综上所述，由①②得，的范围为
故选D项.
【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.
8.设函数是定义在上的偶函数，且，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性求出和的值即可得到结论．
【详解】是定义在上的偶函数，
，，
即，
则，故选D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
9.在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
取BC的中点E，则与向量共线，所以A、D、E三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以G为的重心，则
所以
本题选择B选项.
10.已知定义在R上的奇函数满足，则( )
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可得出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）=f（1-x）；
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；
∴f（x+4）=f（x）；
∴f（x）的周期为4；
∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-m；
∴f（0）=1-m=0；
∴m=1；
∴x∈[0，1]时，f（x）=2x-1；
∴f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1）=-1．
故选：B．
【点睛】本题考查奇函数的定义，周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．
11.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除法，由排除选项；由排除选项，从而可得结果.
【详解】 ，
，排除选项；
，排除选项，故选C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
12.关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
二、填空题。
13.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x
），把（﹣y，﹣x）代入，得f（x）＝log3（-x）+a，由此利用f（﹣3）+f（﹣）＝4，能求出a的值．
【详解】函数y＝f（x）图象与的图象关于直线y＝﹣x对称，
设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），
把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝，
∴f（x）＝log3（-x）+a，
∵f（﹣3）+f（﹣）＝4，
∴1+a﹣1+a＝4，
解得a＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．
14.已知是夹角为的两个单位向量，，则___．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算得到，再计算，然后计算.
【详解】是夹角为的两个单位向量
故答案为
【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.
15.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，数形结合即可得到结果.
【详解】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，
作出函数的图象：
由图易得：
故答案为：
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可。
【详解】，使是假命题，
则，使是真命题，
当，即，转化为，不是对任意的恒成立；
当，，使即恒成立，即
，第二个式子化简得，解得或
所以
【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题。
三、解答题。
17.已知函数（其中），．
（Ⅰ）若命题“”是真命题，求的取值范围；
（Ⅱ）设命题：；命题：．若是真命题，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1），即，，解得；（2）是真命题，则都是真命题. 当时，，故需.或，故，.当时，，故需.，所以，.综上所述，.
试题解析：
（1）∵命题“”是真命题，即，
∴，解得，∴的取值范围是；
（2）∵是真命题，∴与都是真命题，
当时，，又是真命题，则
∵，∴，∴或
∴，解得
当时，
∵是真命题，则，使得，而
∵，∴，∴，解得
求集合的交集可得.
考点：命题真假性判断，含有逻辑联结词的命题．
18.已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
【分析】
(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.
【详解】(1)因为，即，
所以，所以，
因为，即，所以，
所以，所以．
，所以．
(2)由(1)知，若，
当C为空集时，.
当C为非空集合时，可得.
综上所述.
【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.
19.已知，，.
求与的夹角；
若， ， ， ，且与交于点，求.
【答案】；.
【解析】
【分析】
化简得到，再利用夹角公式得到答案.
，根据向量关系化简得到
，再平方得到得到答案.
【详解】，.
又，，，.
.
又，.
，，
，
，
.
【点睛】本题考查了向量的计算，将表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.
20.已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.
（1）求函数的解析式；
（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】（1）（2）当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.
【解析】
试题分析：（1） ①，用替换①式中的有： ②，由①②消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.
试题解析：（1）∵对任意实数恒有：①，
用替换①式中的有：②，
①×②—②得：，
（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，
∴在上为单调减函数.
当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，
∴在上为单调增函数.
证明：设任意且，则
，∵，，
①当时，则，∴
∴在上是减函数.
②当时，则，∴
∴在上是增函数.
综上：当时，在上为单调减函数；
当时，在上为单调增函数.
21.已知函数，其中a为实数.
（1）根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）时奇函数，时非奇非偶函数；（2）单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）讨论两种情况，分别利用奇偶性的定义判断即可；（2）设，再作差，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断即可.
【详解】（1）当时，，显然是奇函数；
当时，，，且，
所以此时是非奇非偶函数.
（2）设，
则
因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，即，
故函数在上单调递增.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.
利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数
22.（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）已知函数偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图象与直线没有交点,求的取值范围;
(3)若函数,是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）（3）存在得最小值为0．
【解析】
试题分析：（1）根据偶函数定义化简可得，即可求得；（2）即没有解，整理可得方程无解，令，则函数的图象与直线无交点，可证明在上是单调减函数，又因为，．求得的值域即可得到a的范围；（3）由题意,
令，转化为轴动区间定求二次函数最值的问题，开口向上，对称轴，所以分，，三种情况讨论求得
试题解析：（1），
即对于恒成立．
（2）由题意知方程即方程无解．
令，则函数的图象与直线无交点．
任取、R，且，则，．
，
在上是单调减函数．
，．
的取值范围是
（3）由题意,
令
开口向上，对称轴
当，
，
当，
，（舍去）
当，，
（舍去）
存在得最小值
考点：1．利用奇偶性求参数；2．证明函数的单调性；3．二次函数求最值