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- 2021-04-20 发布
云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（二）
高二年级 数学试卷（文科）
第I卷（选择题，共分）
一、 选择题：本大题共小题，每小题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（ ）
A．2 B．±1 C．－1 D．1
5.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知且满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
7. 如图，给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )
A．i≤2021? B．i≤2017? C．i≤2019? D．i≤2015?
8.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝（ ）
A． B． C． D．
9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A． 2 B．-1 C． D． 0
10.棱长为2的正方体的所有顶点均在球的球面上，，，分别为，，的中点，则平面截球所得圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
11.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． 2 B． 3 C. 4 D．5
12.已知函数恰有两个零点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
Ⅱ卷 客观题（共分）
一、 填空题（每小题分，小题共分）
13.在中，角的对边分别为，若，则 .
14.在长为5的线段AB上任取一点P，以AP为边长作等边三角形，则此三角形的面积介于和的概率为 .
15.如图是某几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是 ；
俯视图
1
1
主视图
3
左视图
16.已知函数满足，且，当时，，那么在区间内，关于的方程且恰有4个不同的根，则的取值范围是 ．
三、解答题（第题分，其余每题分，共分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a＝1，A＝，。
（I）求B，C的值；
（II）求△ABC的面积．
18. （本题12分）
从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？
（3）在（2）中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．
19. （本题12分）
若数列满足为常数），则称数列为调和数列.
（1）已知数列调和数列，且满足求的通项公式；
（2）若数列为调和数列，且，求的前项和.
20. （本题12分）
如图，四棱锥中，，平面，平面，，，.
（1）求棱锥的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. （本题12分）
已知椭圆的焦点在轴上，离心率等于，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：为定值．
[]
22. （本题12分）
已知.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试讨论的单调性.
云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（二）
高二数学（文科） 参考答案
附参考答案：
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
A
B
B
C
D
A
D
C
【解析】
1．，，，故选C．
2.是等比数列，，，又，故选B．
3．椭圆的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线的渐近线方程为：，故选A．
4．，故选D．
图1
5．，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需 ，故选A.
6.如图1所示画出可行域，注意到x，，在点
处取得最优解，所以，故选B．
7.判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”选B．
8．由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选C．
9.，图象向右平移个单位后得到函数的图象，，则，故选D．
10.如图2，正方体的外接球球心O为对角线的中点，球半径,球心O到平面的距离为，所以小圆半径，故选A．
11.解析：抛物线的准线是，作于，由抛物线的定义知，所以要使最小，即最小，只要，，三点共线且在与之间即可，此时的最小值是：，选D．
12.解析：函数有两个零点，可转化为函数与恰有两个交点,因为
，当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得极小值；而当时，恒成立，
利用图像可知，选．
二、填空题：
13．∵，∴，由正弦定理得，即，故．
14. 设，则正三角形面积为，若，则，由几何概型易得知．
15．
16.令，则化为，即直线恒过．根据题意，画出的图象与直线，如图所示，由图象可知当直线介于直线与之间时，关于x的方程(且)恰有4个不同的根，又因为，，所以．
三、解答题
17.解：（Ⅰ），
，
，
，
又．
又，． ………………………………（6分）
（Ⅱ）由，得，
．………………………（10分）
18.解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为：
0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．…（4分）
（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，
所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）…（8分）
（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1，A2，A3，A4
分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，
从中随机抽取2人总的情形有：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、
（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、
（A4，B1）、（A4，B2）、（B1，B2）15种；
而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形有（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、
（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）8种
故分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率…（12分）
19.解：（Ⅰ）因为为调和数列，故为等差数列，又，……（2分）
故是以1为首项，1为公差的等差数列，
故，故． ………………………………（5分）
（Ⅱ）为调和数列，故．
由知道，，
故是以1为首项，2为公差的等差数列， ……………………………（7分）
故，， ……（9分）
． ………………………………（12分）
20.解：（1）在中，，因为平面，所以棱锥的体积为. （4分）
（2）证明：因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（8分）
（3）结论：在线段上存在一点，且，使平面.
设为线段上一点，且，过点作交于，则.因为平面，平面，所以.又因为，所以，，所以四边形是平行四边形，则．又因为平面，平面，所以平面.（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为，
，，
∴椭圆C的标准方程为． ………………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：设点A，B，M的坐标分别为，
又易知F点的坐标为．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是，
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
， ……………………………………………（8分）
， ……………………………………………（9分）
又，
将各点坐标代入得， …………………………………（11分）
． ………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，，
，又，
所以切线方程为：，即． ……………………（4分）
（Ⅱ）因为，
令，
所以由知，与符号一致．
①当时，，
当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上单调递减．
②当时，由得，解得或．
（i）当时，，即恒成立，
所以在上单调递减．
（ii）当时，，列表如下，
x
(0，1)
1
0
+
0
单调递减
极小
单调递增
极大
单调递减
由上表知在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
………………………………………………………………………………（12分）