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- 2021-04-20 发布
合肥一六八中学 2018—2019 学年第一学期期中考试
高二数学试题（凌志班）
命题人：史传奇 审题人：朱克洋
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线是异面直线；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
2．过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，矩形 O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O'A'=3cm，
O'C'=1cm，则原图形的面积是（ ）
A． B． C． D．6cm2
4.点（4，﹣2）到直线 的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．6
5．已知空间两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 ,则下列命题中正确的是( )
A．若 B．若
C．若 D．若
6．直线 l 过点 P（1，0），且与以 A（2，1）， 为端点的线段总有公共
点，则直线 l 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[1，+∞）
7．已知 ，则直线 通过（ ）
,α β
/ / , , / /m n m nα α⊂ 则 , ,m m n nα β α∩ = ⊥ ⊥则
/ / , / / , / /m n m nα α 则 / / , , , / /m m n m nα β α β⊂ = 则
( 1,3)P − 032 =+− yx
012 =−+ yx 052 =−+ yx
052 =−+ yx 072 =+− yx
0, 0ab bc< < ax by c+ =
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
8．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点，则直线 ED 与 D1F 所成角余
弦值大小是（ ）
A． B．
C． D．
9. 在三棱柱 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 是侧面 的
中心，则 与平面 所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
10．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； ②△ACD 是等边三角形；
③AB 与平面 BCD 成 60°的角； ④AB 与 CD 所成的角是 60°.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11．如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和
CC1 上，AP=C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积为( )
A． B． C． D． （11 题）
12．如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点
E、F， 且 EF＝1
2，则下列结论错误的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面 ABCD （12 题）
C．三棱锥 A—BEF 的体积为定值
D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示， 则该几何体的侧面积为_ ______cm2
1
5
1
3
1
2
3
2
1 1 1ABC A B C− D 1 1BB C C
AD 1 1BB C C
30 45 60 90
2
V
3
V
4
V
5
V
14. 已知直线 与 平行，则实数 的取值
是 ．
15．若直线 l 为：3y= x+6，则直线 l 的倾斜角为 ．
16.球的半径为 5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为 6cm 和 8cm，
则这两个平面之间的距离是 cm.
三、解答题
17．（本小题 10 分）如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 与△A1B1C1 都为正三角形且 AA1⊥
面 ABC，F、F1 分别是 AC，A1C1 的中点．
求证：(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF；
(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
（17 题）
18．（本小题 12 分）设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．
(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线 l 的方程；
(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
19.（本小题 12 分）已知直线 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）当 时，求直线 与 之间的距离．
1 : 2 6 0l ax y+ + = ( ) 2
2 : 1 1 0l x a y a+ − + − = a
20． （本小题 12 分）如图，DC⊥平面 ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB ＝
120°，
P，Q 分别为 AE，AB 的中点．
（1）证明：PQ∥平面 ACD；
（2）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值
（19 题）
21．（本小题 12 分）如图所示，边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的
平面，BC＝2 2，M 为 BC 的中点．
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角 P－AM－D 的大小．
（21 题）
22．如图，△ABC 中，AC＝BC＝ AB，ABED 是边长为 1 的正方形，平面 ABED⊥底面 ABC，
若 G，F 分别是 EC，BD 的中点．
（1）求证：GF∥底面 ABC；
（2）求证：AC⊥平面 EBC； （22 题）
（3）求几何体 ADEBC 的体积 V.
2
2
理科凌志班参考答案
一、选择题：1-5 BABBD 6-10 BCACC 11-12 BD
二、填空题
13 . 80 14.-1 15 .30° 16.1 或 7
三、解答题
17 .证明:(1)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.
(2)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.
又 B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1，
∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
18 .（1）3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0；（2）a≤－1.
19.（1）由 知 ，解得 ；
（2）当 时，有 解得 ，或 a=-1（舍去）
，即 ，距离为 ．
20.（1）证明：因为 P，Q 分别为 AE，AB 的中点，
所以 PQ∥EB.又 DC∥EB，因此 PQ∥DC，
又 PQ⊄平面 ACD，
从而 PQ∥平面 ACD.
（2）如图，连接 CQ，DP，因为 Q 为 AB 的中点，且 AC＝BC，所以 CQ⊥AB.
因为 DC⊥平面 ABC，EB∥DC，
所以 EB⊥平面 ABC，因此 CQ⊥EB.
故 CQ⊥平面 ABE.
由(1)有 PQ∥DC，又 PQ＝ EB＝DC，所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DP∥CQ，
因此 DP⊥平面 ABE，
∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，
2
1
在 Rt△DPA 中，AD＝ 5，DP＝1，
sin∠DAP＝ ，因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为
21.(1)证明：如图所示，取 CD 的中点 E，
连接 PE，EM，EA，
∵△PCD 为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝ 3.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，
∴PE⊥平面 ABCD，而 AM⊂平面 ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM＝ 3，AM＝ 6，AE＝
3，
∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又 PE∩EM＝E，∴AM⊥平面 PEM，∴AM⊥PM.
(2)解：由(1)可知 EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME 是二面角 P－AM－D 的平面角．
∴tan∠PME＝
PE
EM＝
3
3＝1，∴∠PME＝45°.
∴二面角 P－AM－D 的大小为 45°.
22.(1)证明：连接 AE，如下图所示．
∵ADEB 为正方形，
∴AE∩BD＝F，且 F 是 AE 的中点，
又 G 是 EC 的中点，
∴GF∥AC，又 AC⊂平面 ABC，GF⊄平面 ABC，
∴GF∥平面 ABC.
(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面 ABED⊥平面 ABC，平面 ABED∩平面 ABC＝AB，EB⊂平面 ABED，
∴BE⊥平面 ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝
2
2 AB，
∴CA2＋CB2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面 BCE.
5
5
5
5
(3)取 AB 的中点 H，连 GH，∵BC＝AC＝
2
2 AB＝
2
2 ，
∴CH⊥AB，且 CH＝
1
2，又平面 ABED⊥平面 ABC
∴GH⊥平面 ABCD，∴V＝
1
3×1×
1
2＝
1
6.