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- 2021-04-20 发布
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西藏拉萨中学2018-2019学年上学期高二第二次月考数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1．在直角坐标系中，原点到直线的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故选．
2．下列命题中错误的是 ( )
A． 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B． 在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C． 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)
D． 在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)
【答案】A
【解析】空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故选A.
3．两条直线 与平行，则它们间的距离为（）
A． 4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两直线平行（与y轴平行除外）时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离．
【详解】
根据两直线平行得到斜率相等即﹣3=﹣，解得m=2，则直线为6x+2y+1=0，
取3x+y﹣3=0上一点（1，0）求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，
所以d==．
故选：D．
【点睛】
本题考查了两直线间的距离，可直接利用公式求解，也可以转化为点到直线的距离，属于基础题.
4．直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则有( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】 由直线，则直线的斜率为，即，则，
令，则，即直线在轴上的截距为，故选A.
5．若，，三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：过、两点直线方程为：，因为、、三点共线，所以满足直线方程，所以，故选A．
考点：三点共线成立的条件，直线方程．
【思路点晴】本题主要考查是已知三点共线，求其中一个点坐标，属于基础题，先根据已知两个点、的坐标，求出点、两点所在的直线方程，然后由、、三点共线，将点坐标代入直线方程，求出的值．
6．设表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若，且，则；②若， ， ，则；
③若， ，则；④如果， ， ，则.
则错误的命题个数为（ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【答案】B
【解析】①若，且，则是正确的，垂直于同一个平面的直线互相平行；
②若， ， ，则；是错误的，当m和n平行时，也会满足前边的条件。
③若， ，则，不对，垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的；
④如果， ， ，则；是错误的，平面和可以是任意的夹角；
故答案为：B。
7．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A． 垂直 B． 平行 C． 重合 D． 平行或重合
【答案】D
【解析】
【分析】
由倾斜角可得直线l1的斜率，由斜率公式可得直线l2的斜率，可判断平行或重合关系.
【详解】
直线l1的倾斜角为135°，其斜率，
直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，其斜率，
显然满足，
l1与l2平行或重合.
故选：D.
【点睛】
本题考查两条直线的位置关系的判断，注意斜率公式的合理应用.
8．若直线与圆相切，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为圆的圆心为，半径为，所以由直线与圆
相切可得，圆心到该直线的距离为，解之得，故应选．
考点：1、直线与圆的位置关系．
9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.
【详解】
逐一考查所给的函数图像：
对于选项A，过坐标原点，则，直线在轴的截距应该小于零，题中图像符合题意；
对于选项C，过坐标原点，则，直线在轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；
过坐标原点，直线的倾斜角为锐角，题中BD选项中图像不合题意；
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．在二面角的一个面内有一点到棱的距离为，则该点到另一个面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：如图所示，是它到另一个面的距离，它到棱的距离，得出为二面角的平面角，在中求解即可．
详解：
如图所示，为二面角的一个面内有一点，
其中,是点到的距离，所以，
所以为二面角的平面角，即，
在中，，则，
即到另一个面的距离，故选A．
点睛：本题主要考查了二面角的定义，空间距离的求解问题，其中根据线面位置关系，得到，再在中求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证、运算能力．
11．过坐标原点 作圆的两条切线，切点为，直线被圆截得弦的长度为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用圆的几何性质及等积法构建方程即可.
【详解】
由题意得，圆的圆心坐标为，半径为1
设圆的圆心为C，
∴，，
根据三角形面积公式：
∴
故选：D
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
12．如图，正方体中，下面结论错误的是（ ）
A． 平面 B． 异面直线与所成的角为45°
C． 平面 D． 与平面所成的角为30°
【答案】D
【解析】//,所以//平面；因为// ,所以异面直线与所成的角为 45°;因为，所以平面; 与平面所成的角为30°,选D.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．直线在轴上的截距为_______．斜率_______
【答案】4
【解析】
【分析】
分析：由，令，求截距。
【详解】
：，故斜率为，，截距为4。
【点睛】
：斜率为前面的系数，令，求截距。
14．已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
对a分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【详解】
a=1时，两条直线不垂直，舍去．
a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
15．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为__________．
【答案】
【解析】分析：由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案．
详解：若圆锥的高等于底面直径，则h=2r，
则母线，而圆锥的底面面积为πr2，
圆锥的侧面积为=πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为
故答案为
点睛：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，难度不大，属于基础题．
16．已知直线上有两个点和, 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为______________.
【答案】或
【解析】
【分析】
由题意可知，，，所以中点坐标为，圆心在直线的中垂线上，故过圆心满足直线，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，由勾股定理可知解得：当时，；当时，得解。
【详解】
上有两个点和,为一元二次方程的两个根，故，那么，所以中点坐标为，因为圆心在直线的中垂线上，故过圆心的直线为，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为
，因为圆的半径、半弦长、圆心到直线的距离构成直角三角形，由勾股定理可知解得：当时，；当时，，所以圆的方程为或。
【点睛】
利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为。
评卷人
得分
三、解答题
17．已知点,，：．
（1）求线段AB的中点的坐标；
（2）若直线过点B，且与直线平行，求直线的方程．
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）利用中点的坐标公式直接求解
（2）两直线平行，斜率相等，直接写出直线的点斜式方程。
【详解】
（1）线段的中点；
（2）直线的斜率为，
因直线与直线平行，则直线的斜率为，
直线的方程，即．
【点睛】
两直线平行，斜率相等。两直线垂直斜率互为负倒数。
18．已知圆经过两点，并且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)求圆上的点到直线的最小距离.
【答案】（1）.（2）1
【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可.
试题解析：
（1）设圆的方程为，
由已知条件有 ，
解得
所以圆的方程为
.
（2）由（1）知，圆的圆心为，半径r=4,
所以圆心到直线的距离
则圆上点到直线的最小距离为.
点睛：解决圆中的最值问题时，一般不直接依赖纯粹的代数运算，而是借助平面几何的相关知识，使得解题变得简单且不易出错.常用结论有：①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径；②当点在圆外时，圆上的点到该点的最小（大）距离等于圆心到该点的距离减去（加上）半径.
19．已知一组动直线方程为:.
(1) 求证:直线恒过定点，并求出定点的坐标;
(2) 若直线与轴正半轴，轴正半轴半分别交于点两点，求面积的最小值.
【答案】（1）定点；（2）最小值为4，时取等号
【解析】
【分析】
(1)将直线方程化为关于k的方程，即可求得过的定点坐标。
(2)求得直线与x轴、y轴的交点，表示出三角形面积，根据基本不等式即可求得面积的最小值。
【详解】
(1)因为
所以过定点
所以过定点坐标为
(2) 直线交x轴于点 ，交y轴于点
，当且仅当时取得等号，此时 ，因为，所以
所以面积的最小值为4
【点睛】
本题考查了直线方程过定点，三角形面积的表示方法及基本不等式的应用，属于中档题。
20．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上．
(Ⅰ)若圆C与直线相交于M，N两点，且，求圆心C的横坐标的值；
(Ⅱ)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
【答案】(Ⅰ) 或2;(Ⅱ) 切线为：或.
【解析】分析：（Ⅰ）设圆心，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程可得或2.
（Ⅱ）由题意可得圆心为C(3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率或．则所求切线为：或．
详解：（Ⅰ）设圆心，
圆心C到直线的距离 ，
得：或2.
（Ⅱ）联立：，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：，
,得：或．
故所求切线为：或．
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
21．（本小题满分13分）
如图，⊙O在平面内，AB是⊙O的直径，平面
，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：关于第一问，注意应用线面平行的判定定理，同时注意线面平行的判定定理的条件，注意第二问注意面面平行的判定定理的条件和结论，注意证明过程的书写，第三问注意关于线面垂直的判定定理的条件和结论，注意垂直关系的转化.
试题解析：证明：（1）∵分别是的中点，
∴. （1分）
又∵， （2分）
∴平面. （4分）
（2）由（1）知平面， （5分）
同理可证平面. （6分）
∵平面 平面且， （7分）
∴平面平面. （8分）
（3）∵平面，平面，∴. （10分）
又∵AB是⊙O的直径，C为圆周上不同于A、B的任意一点，
∴. （11分）
∵,平面， （12分）
∴平面. （13分）
考点：线面平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定.
22．已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（2）若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切，求m的值；
（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值．
【答案】（1）； （2）4 ； （3）4.
【解析】
【分析】
（1）直接把圆的一般式转化为标准式，进一步求出圆的成立的充要条件．
（2）直接利用圆与圆相切的充要条件求出结果．
（3）利用直线与圆的位置关系，进一步利用垂径定理求出m的值．
【详解】
（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，
若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；
（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16，得到圆心坐标（4，6），半径为4，
则两圆心间的距离d==5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4；
（3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d==，
所以=（|MN|）2+d2，即5-m=1，解得m=4．
【点睛】
本题考查圆成立的充要条件的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用及相关的垂径定理得应用，属中档题．