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- 2021-04-20 发布
高三年级 12 月月度检测数学试卷
一、填空题.：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.
1.已知全集U R ，集合 { | 2}A x x ≥ ， { | 0 5}B x x ≤ ，则 ( )uC A B ．
2.若直线 2 2 1 0a a x y 的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是 ．
3.对于常数 m 、 n ，“ 0mn ”是方程“ 2 2 1mx ny 的曲线是椭圆”的 ．
4.已知单位向量 a
， b
的夹角为120 ，那么 2a xb （ xR ）的最小值是 ．
5.将 sin 2y x 的图像向右平移 单位（ 0 ），使得平移后的图像仍过点 3( )3 2
， ，则 的
最小值为 ．
6.已知数列{ }na 满足： 1 1a ， 1 2
n
n
n
aa a
，（ *n N ），则数列{ }na 的通项公式为 ．
7.若圆 C 经过坐标原点和点 (4 0)， ，且与直线 1y 相切，则圆C 的方程是 ．
8.设函数 1( )
0
xD x
x
有，
，
理
理
为 数
为无 数
，则下列结论正确的是 ．
（1） ( )D x 的值域为{0 1}， ；（2） ( )D x 是偶函数；（3） ( )D x 不是周期函数；（4） ( )D x 不是
单调函数.
9.如图，矩形 ABCD 的三个顶点 A 、 B 、 C 分别在函数 2
2
logy x ，
1
2y x ， 2
2
x
y
的
图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点 A 的纵坐标为 2 ，则点 D 的坐标
为 ．
10.在矩形 ABCD 中， 3AB ， 1AD ，若 M ， N 分别在边 BC ， CD 上运动（包括端点，
且满足 BM CN
BC CD
，则 AM AN 的取值范围是 ．
11.若曲线 21
2y xe
与曲线 lny a x 在它们的公共点 ( )P s t， 处具有公共切线，则实数 a 的值
为 ．
12.若函数 ( ) 2 1f x x ，则函数 ( ) ( ) lng x f f x x 在 (0 1)， 上不同的零点个数
为 ．
13.已知点 ( 3 0)A ， 和圆 O ： 2 2 9x y ， AB 是圆 O 的直径， M 和 N 是线段 AB 的三等分
点， P （异于 A ， B ）是圆 O 上的动点， PD AB 于 D ， PE ED （ 0 ），直线 PA 与
BE 交于 C ，则当 时， CM CN 为定值．
14.已知圆心角为120 的扇形 AOB 的半径为1，C 为 AB 的中点，点 D 、E 分别在半径OA 、
OB 上.若 2 2 2 26
9CD CE DE ，则 OD OE 的最大值是 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.
15.已知 ( ) 3sin( ) cos3f x x x ．
（1）求 ( )f x 在[0 ]， 上的最小值；
（2）已知 a ，b ，c 分别为 ABC△ 内角 A 、B 、C 的对边， 5 3b ， 3cos 5A ，且 ( ) 1f B ，
求边 a 的长.
16.设函数 ( ) log ( 2 ) log ( 3 )a af x x a x a ，其中 0a 且 1a ．
（1）已知 (4 ) 1f a ，求 a 的值；
（2）若在区间[ 3 4]a a ， 上 ( ) 1f x ≤ 恒成立，求 a 的取值范围.
17. 已知椭圆的中心为坐标原点 O ，椭圆短轴长为 2 ，动点 (2 )M t， （ 0t ）在椭圆的准线
上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以 OM 为直径且被直线3 4 5 0x y 截得的弦长为 2 的圆的方程；
（3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点 N ，求证：
线段 ON 的长为定值，并求出这个定值.
18. 某儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. ABCD 是等
腰梯形； 20AB 米， CBF （ F 在 AB 的延长线上， 为锐角），圆 E 与 AD ， BC 都
相切，且其半径长为100 80sin 米. EO 是垂直于 AB 的一个立柱，则当 sin 的值设计为多
少时，立柱 EO 最矮？
19. 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 1n nS pS q （ p ， q 为常数， *n N ）eg 1 2a ，
2 1a ， 3 3a q p
（1）求 p ， q 的值；
（2）求数列{ }na 的通项公式；
（3）是否存在正整数 m ，n ，使
1
2
2 1
m
n
m
n
S m
S m
成立？若存在，求出所有符合条件的有序
实数对 ( )m n， ；若不存在，说明理由.
20. 已知函数 ( )f x 的图像在[ ]a b， 上连续不断，定义：
1( ) min{ ( ) / }f x f t a t x ≤ ≤ （ [ ]x a b ， ）， 2 ( ) max{ ( ) / }f x f t a t x ≤ ≤ （ [ ]x a b ， ），其
中 min{ ( ) / }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D 上的最小值， max{ ( ) / }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D
上的最大值，若存在最小正整数 k ，使得 2 1( ) ( ) ( )f x f x k x a ≤ 对任意的 [ ]x a b ， 成立，
则称函数 ( )f x 为[ ]a b， 上的“ k 阶收缩函数”.
（1）若 ( ) cosf x x ， [0 ]x ， ，试写出 1( )f x ， 2 ( )f x 的表达式；
（2）已知函数 2( )f x x ， [ 1 4]x ， ，判断 ( )f x 是否为[ 1 4] ， 上的“ k 阶收缩函数”，如
果是，求出对应的 k ，如果不是，请说明理由；
（3）已知 0b ，函数 3 2( ) 3f x x x ，是[0 ]b， 上的 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围.
数学附加题
21. （1）选修 4-2：矩阵与变换
求矩阵 1 4
2 6M
的特征值和特征向量.
（2）选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆 1C 的方程为 4 2 cos( )4
，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半
轴建立平面直角坐标系，圆 2C 的参数方程 1 cos
1 sin
x a
y a
，（ 是参数），若圆 1C 与圆 2C 相
切，求实数 a 的值.
22.一位民在上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A ， B ，C ， D ， E 五种
商品有购买意向，已知该民购买 A ， B 两种商品的概率均为 3
4
，购买C ， D 两种商品的概
率均为 2
3
，购买 E 种商品的概率为 1
2
，假设该民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该民至少购买 4 种商品的概率；
（2）用随机变量 表示该民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望.
23.已知 p （ 2p≥ ）是给定的某个正整数，数列{ }na 满足： 1 1a ， 1( 1) ( )k kk a p k p a ，
其中 1k ， 2 ，3，…， 1p .
（1）设 4p ，求 2a ， 3a ， 4a ；
（2）求 1 2 3 pa a a a
试卷答案
一、填空题
1.{ | 0 2}x x ≤ 2. ( 2 0) ， 3.必要不充分条件 4. 3 5.
6
6. 1
2 1n na
7. 2 23 25( 2) ( )2 4x y 8.（1）（2）（4） 9. 1 1
2 4
，
10.[1 9]， 11.1 12. 3 13. 1
8
14. 4
3
二、解答题
15.解：（1） sin 3( ) 3 cos cos2 2
xf x x x
3 1sin cos sin2 2 6x x x
∵ 7
6 6 6x ≤ ≤ ∴当 x 时， min
1( ) 2f x ；
（2）∵ 26 2x k ， k Z 时， ( )f x 有最大值， B 是三角形内角∴
3B
∵ 3cos 5A ∴ 4sin 5A
∵正弦定理
sin sin
a b
A B
∴ 8a
16.解：（1） 1
2a
（2）
2
2 2 25( ) log ( 5 6 ) log [( ) ]2 4a a
a af x x ax a x ，
由 2 0
3 0
x a
x a
得 3x a ，由题意知 3 3a a ，故 3
2a ，从而 5 3( 3) (2 ) 02 2a a a ，故
函数
2
25( ) ( )2 4
ag x x a 在区间[ 3 4]a a ， 上单调递增.
①当 0 1a ，则 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上单调递减.
所以 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上的最大值为 2( 3) log (2 9 9) 1af a a a ≤ ，
即 22 9 9a a a ≥ ，解得 5 7
2a ≥ 或 5 7
2a ≤ ，又 0 1a ，所以 0 1a .
②若 31 2a ，则 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上单调递增，
所以 ( )f x 在区间[ 3 4]a a ， 上的最大值为 2( 4) log (2 12 16) 1af a a a ≤ ，
22 12 16a a a ≤ ，解得 13 41 13 41
4 2a ≤ ≤ ，与 31 2a 联立无解.
综上： 0 1a
17.解：（1）由 2 2b ，得 1b
又由点 M 在准线上，得
2
2a
c
，故
21 2c
c
，∴ 1c 从而 2a
所以椭圆方程为
2
2 12
x y
（2）以 OM 为直径的圆的方程为
2
2 2( 1) ( ) 12 4
t tx y
其圆心为 (1 )2
t， ，半径
2
14
tr
因为以OM 为直径的圆被直线 3 4 5 0x y 截得的弦长为 2
所以圆心到直线3 4 5 0x y 的距离 2 1 2
td r
所以 3 2 5
5 2
t t ，解得 4t
所以圆的方程为 2 2( 1) ( 2) 5x y
（3）方法一：由平几知： 2ON OK OM
直线 OM ：
2
ty x ，直线 FN ： 2 ( 1)y xt
由 2
2 ( 1)
ty x
y xt
得 2
4
4Kx t
∴
2 2 2
2
2
41 1 (1 ) 2 24 4 4 4K M
t t tON x x t
所以线段 ON 的长为定值 2
方法二：设 0 0( )N x y， ，则 0 0( 1 )FN x y ， ， (2 )OM t ， ， 0 0( 2 )MN x y t ， ，
0 0( )ON x y ， ，
∵ FN OM ，∴ 0 02( 1) 0x ty ，∴ 0 02 2x ty
又∵ MN ON ，∴ 0 0 0 0( 2) ( ) 0x x y y t ，∴ 2 2
0 0 0 02 2x y x ty
所以 2 2
0 0 2ON x y 为定值.
18.解：方法一：如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立
平面直角坐标系.
因为 (10 0)B ， ， tanBCk ，所以直线 BC 的方程为 tan ( 10)y x ，即
tan 10tan 0x y .
设圆心 (0 )E t， （ 0t ），由圆 E 与直线 BC 相切，
得
2
10tan 10tan100 80sin 11 tan
cos
t t
，
所以 100 90sin
cosEO t
令 100 90sin( ) cosf
， (0 )2
， ，则 2
9100(sin )10( ) cosf
设 0
9sin 10
， 0 (0 )2
， ，列表如下：
0(0 )， 0 0( )2
，
( )f 0
( )f 减 极小值 增
所以当 0 ，即 9sin 10
时， ( )f 取最小值.
答：当 9sin 10
时，立柱 EO 最矮.
方法二：如图所示，延长 EO ， CB 交于点 G ，过点 E 作 EH BC 于 H ，
则 100 80sinEH R ， HEG OBG CBF
在 Rt EHG△ 中， 100 80sin
cos cos
REG
在 Rt OBG△ 中， tan 10tanOG OB
所以 100 90sin
cosEO EG OG
19.解：（1）由题意，知 2 1
3 2
S pa q
S pS q
，
，即 3 2
3 3 3
p q
q p p q
，
，解之得
1
2
2
p
q
（2）由（1）知， 1
1 22n nS S ，①
当 2n≥ 时， 1
1 22n nS S ，②
① ②得， 1
1
2n na a ≥ （ 2n≥ ）
又 2 1
1
2a a ，所以 1
1
2n na a （ *n N ），所以{ }na 是首项为 2 ，公比为 1
2
的等比数列，所以
2
1
2n na
（3）由（2）得，
12(1 ) 12 4(1 )1 21 2
n
n nS
，由
1
2
2 1
m
n
m
n
S m
S m
，得
1
14(1 ) 22
1 2 14(1 )2
mn
m
n
m
m
，即 2 (4 ) 4 2
2 (4 ) 2 2 1
n m
n m
m
m
，
即 2 1
2 (4 ) 2 2 1n mm
，因为 2 1 0m ,所以 2 (4 ) 2n m ，
所以 4m ，且 12 2 (4 ) 2 4m mm ，（）
因为 *m N ，所以 1m 或 2 或3
当 1m 时，由（）得， 2 2 3 8n ，所以 1n ；
当 2m 时，由（）得， 2 2 2 12n ，所以 1n 或 2 ；
当 3m 时，由（）得 2 2 20n ，所以 2n 或3或 4 ，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对 ( )m n， 为：
(1 1)， ， (2 1)， ， (2 2)， ， (3 2)， ， (3 3)， ， (3 4)，
20.解：（1）由题意可得： 1( ) cosf x x ， [0 ]x ， ， 2 ( ) 1f x ， [0 ]x ， .
（2）
2
1
[ 1 0)( )
0 [0 4]
x xf x
x
， ，
， ，
， 2 2
1 [ 1 1)( )
[1 4]
xf x
x x
， ，
， ，
，
2
2 1
2
1 [ 1 0)
( ) ( ) 1 [0 1)
[1 4]
x x
f x f x x
x x
， ，
， ，
， ，
当 [ 1 0]x ， 时， 21 ( 1)x k x ≤ ，∴ 1k x≥ ， 2k ≥ ；
当 (0 1)x ， 时，1 ( 1)k x ≤ ，∴ 1
1k x
≥ ，∴ 1k ≥ ；
当 [1 4]x ， 时， 2 ( 1)x k x ≤ ，∴
2
1
xk x
≥ ， 16
5k ≥
综上所述， 16
5k ≥ .即存在 4k ，使得 ( )f x 是[ 1 4] ， 上的“4 阶收缩函数”.
（3） 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x ，令 ( ) 0f x 得 0x 或 2x .函数 ( )f x 的变化情况如下：
x ( 0) ， 0 (0 2)， 2 (2 ) ，
( )f x 0 0
( )f x 0 4
令 ( ) 0f x 得 0x 或 3x .
（1）当 2b≤ 时， ( )f x 在[0 ]b， 上单调递增，因此， 3 2
2 ( ) ( ) 3f x f x x x ， 1( ) (0) 0f x f .
因为 3 2( ) 3f x x x 是[0 ]b， 上的“二阶收缩函数”，所以，
① 2 1( ) ( ) 2( 0)f x f x x ≤ ，对 [0 ]x b ， 恒成立；
②存在 [0 ]x b ， ，使得 2 1( ) ( ) ( 0)f x f x x 成立.
①即： 3 23 2x x x ≤ 对 [0 ]x b ， 恒成立，由 3 23 2x x x ≤ 解得 0 1x≤ ≤ 或 2x≥ .
要使 3 23 2x x x ≤ 对 [0 ]x b ， 恒成立，需且只需 0 1b ≤ .
②即：存在 [0 ]x b ， ，使得 2( 3 1) 0x x x 成立.
由 2( 3 1) 0x x x 解得 0x 或 3 5 3 5
2 2x .所以，只需 3 5
2b .
综合①②可得 3 5 12 b ≤
（2）当 2 3b ≤ 时， ( )f x 在[0 2]， 上单调递增，在[2 ]b， 上单调递减，因此， 2 ( ) (2) 4f x f ，
1( ) (0) 0f x f ， 2 1( ) ( ) 4f x f x ， 0x x ，显然当 0x 时， 2 1( ) ( ) 2( 0)f x f x x ≤ 不成
立，
（3）当 3b 时， ( )f x 在[0 2]， 上单调递增，在[2 ]b， 上单调递减，因此， 2 ( ) (2) 4f x f ，
1( ) ( ) 0f x f b ， 2 1( ) ( ) 4 ( ) 4f x f x f b ， 0x x ，显然当 0x 时，
2 1( ) ( ) 2( 0)f x f x x ≤ 不成立.
综合（1）（2）（3）可得： 3 5 12 b ≤
数学附加题
21.解：（1） 2( ) ( 1)( 6) 8 5 14 ( 7)( 2)f
由 ( ) 0f 可得： 1 7 ， 2 2 .
由 (7 1) 4 0
2 (7 6) 0
x y
x y
可得属于 1 7 的一个特征向量 1
2
由 ( 2 1) 4 0
2 ( 2 6) 0
x y
x y
可得属于 1 2 的一个特征向量为 4
1
（2） 1C ： 2 2( 2) ( 2) 8x y ，圆心 1(2 2)C ， ，半径 1 2 2r ，
2C ： 2 2 2( 1) ( 1)x y a ，圆心 2 ( 1 1)C ， ，边境 2 | |r a .
圆心距 1 2 3 2C C ，
两圆外切时， 1 2 1 2 2 2 3 2C C r r a ， 2a ；
两圆内切时， 1 2 1 2 2 2 3 2C C r r a ， 5 2a .
综上， 2a ，或 5 2a .
22.解：（1）记“该民购买 i 种商品”为事件 iA ， 4i ，5 ，则 5
3 3 2 2 1 1( ) 4 4 3 3 2 8P A ，
1
4 2
3 3 2 2 1 3 3 2 2 1( ) (1 ) C (1 )4 4 3 3 2 4 4 3 3 2P A 1
2
2 2 3 3 1 1(1 )3 3 4 4 2 3C
所以该民至少购买 4 种商品的概率为 5 4
1 1 11( ) ( ) 8 3 24P A P A
答:该民至少购买 4 种商品的概率为 11
4
.
（2）随机变量 的可能取值为 0 ，1， 2 ，3， 4 ， 5
3 3 2 1 1( 0) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )4 4 3 2 288P
1
2
3 2 2 1( 1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )4 3 3 2P C + 1
2
2 2 3 3 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )3 3 4 4 2C
1 3 3 2 2 11(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 4 4 3 3 288
,
3 3 2 2 1( 2) (1 ) (1 ) (1 )4 4 3 3 2P + 2 2 3 3 1(1 ) (1 ) (1 )3 3 4 4 2
1 1
2 2
3 3 2 2 1 47(1 ) (1 ) (1 )4 4 3 3 2 288C C
1 11 47 1 1 97( 3) 1 ( 0 2 4 5) 1 288 288 288 3 8 288P P ， ， ， ,
4
1( 4) ( ) 3P P A
5
1( 5) ( ) 8P P A
所以：随机变量 的概率分布为：
0 1 2 3 4 5
P 1
288
11
288
47
288
97
288
1
3
1
8
故 1 11 47 97 1 1 100 1 2 3 4 5288 288 288 288 3 8 3E .
23.解：（1）由 1( 1) ( )k kk a p k p a 得 1
1
k
k
a k ppa k
， 1k ， 2 ， 3，…， 1p
即 2
1
4 14 62
a
a
， 2 16 6a a ； 3
2
4 2 84 3 3
a
a
， 3 16a
4
3
4 34 14
a
a
， 4 16a ；
（2）由 1( 1) ( )k kk a p k p a 得 1
1
k
k
a k ppa k
， 1k ， 2 ，3，…， 1p
即 2
1
1
2
a ppa
， 3
2
2
3
a ppa
，…，
1
( 1)k
k
a p kpa k
以上各式相乘得 1
1
( 1)( 2)( 3) ( 1)( ) !
kka p p p p kpa k
∴ 1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( ) !
k
k
p p p p ka p k
1
1 ( 1)! ( ) !( ) !( )! !( )!
k
k p p pp k p k p k p k
2
2
1( ) ( )k k k k
p pp C C pp
， 1k ， 2 ，3，…， p
∴ 1 2 3 pa a a a
1 1 2 2 3 3
2
1 ( ) ( ) ( ) ( )p p
p p p pC p C p C p C pp
2
1 (1 ) 1ppp