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- 2021-04-20 发布
课时分层训练(四十九) 椭 圆
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
【导学号：01772312】
A．4 B.3
C．2 D.5
A [由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
【导学号：01772313】
A. B.
C. D.
B [原方程化为＋＝1(m>0)，
∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，
则e2＝，∴e＝.]
3．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
( )
【导学号：01772314】
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D [设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B.3
C．6 D.8
C [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A [∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.
又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，
∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.]
二、填空题
6．(2017·成都质检)已知椭圆：＋＝1(0b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.]
8．(2016·江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.
图854
[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]
三、解答题
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
【导学号：01772315】
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
[解] (1)由题意，得解得3分
∴椭圆C的方程为＋＝1.5分
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
[解] (1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.5分
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.7分
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有解得b＝3.10分
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为
( )
A. B.1
C．2 D.4
C [圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．
又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，
∴直线l的方程为x＝－c.
又∵直线l与圆M相切，
∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.]
2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若b>0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
[解] (1)由已知得2分
解得
故椭圆C的方程为＋＝1.5分
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.8分
因为AB是等腰三角形PAB的底边，
所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.10分
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3.
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.12分