人教A版数学必修一1-3-1函数的最大（小）值 5页

§1．3．1 函数的最大（小）值 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借 助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极 性． 二．教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三．学法与教学用具 1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ① ( ) 3f x x   ② ( ) 3 [ 1,2]f x x x     ③ 2( ) 2 1f x x x   ④ 2( ) 2 1 [ 2,2]f x x x x     （二）研探新知 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数 ( )y f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 x I ，都有 ( )f x M ； （2）存在 0x I ，使得 0( )f x M ． 那么，称 M 是函数 ( )y f x 的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数 ( )y f x 的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 0x I ，使得 0( )f x M ； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x I ，都有 ( ) ( ( ) )f x M f x m  ． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑． 例 1．（教材 P30 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略） 例 2．将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时，能卖出 500 个，若此商品每个涨价 1 元，其销售量减 少 10 个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解 ： 设 利 润 为 y 元 ， 每 个 售 价 为 x 元 ， 则 每 个 涨 （ x － 50 ） 元 ， 从 而 销 售 量 减 少 10( 50) ,x  个 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴y=(x-40)(1000-10x) 9000 (50 x 2=-10(x-70) ＜100） ∴ max70 9000x y 时 答：为了赚取最大利润，售价应定为 70 元． 例 3．求函数 2 1y x   在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 解：（略） 例 4．求函数 1y x x   的最大值． 解：令 21 0 1t x x t     有 则 2 21 51 ( ) 02 4y t t t t         21( ) 02t   21 5 5( )2 4 4t    . 5原函数的最大值为 4 （四）巩固深化，反馈矫正． （1）求函数 | 3| | 1|y x x    的最大值和最小值． （2）如图，把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为 x ，面积为 y ，试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？ （五）归纳小结 求函数最值的常用方法有： （1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定 函数的最值． （2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值． （3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值． （六）设置问题，留下悬念． 1．课本 P39（A 组） 5. 2．求函数 2 1y x x   的最小值． 3．求函数 2 2 3y x x x   当自变量 在下列范围内取值时的最值 ． ① 1 0x   ② 0 3x  ③ ( , )x    A 组 一、选择题： 1．若一次函数 ),()0(  在kbkxy 上是单调减函数，则点 ),( bk 在直角坐标平面的（ ） A．上半平面 B．下半平面 C．左半平面 D．右半平面 2．函数 y=x2+x+2 单调减区间是( ) A ．[－ 2 1 ,+∞] B．（－1，+∞） C．（－∞，－ 2 1 ） D．（－∞，+∞） 3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（ ） A． xy 1 B． 2xy  C． 2xy  D． 122  xxy 4．已知函数 2)1(2)( 2  xaxxf 在区间（-∞，4）上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A．a≥3 B．a≤-3 C．a≥-3 D．a≤5 5．设 A=[1，b]（b＞1）， )(1)1(2 1)( 2 Axxxf  ，若 f（x）的值域也是 A，则 b 值是（ ） A． 2 3 B．2 C．3 D． 2 7 6．定义在 R 上的 f（x）满足 f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函数，若 )1()1( 2 faf  ，则 a 25 1 y x2 3 4 1 2 3 4 5 -1-2-3-4-5 -1 -2 -3 -4 -5 o 的取值范围是（ ） A． 2|| a B．|a|>2 C． 1|1| 2 a D． 2|| a 二、填空题： 7．若函数 f(x)=(-k2+3k+4)x+2 是增函数，则 k 的范围是 8．定义在区间[a、b]上的增函数 f（x），最大值是________，最小值是________。 定义在区间[c，d]上的减函数 g（x），最大值是________，最小值是________。 9．一般地，家庭用电量 y（千瓦）与气温 x（℃）有函数关系 )(xfy  。图（1）表示某年 12 个月中每月 的平均气温，图（2）表示某家庭在 12 个月中每月的用电量. 试在数集 xxxA ,305|{  是 2.5 的 整数倍}中确定一个最小值 1x 和最大值 2x ，使 ],[)( 21 xxxfy 是 上的增函数，则区间[ 1x ， x2]= . 10．读图分析：设定义在 4,4 的函数 ( )y f x 的图象 如图所示（图中坐标点都是实心点），请填写以下几个空格： （1）若 ( )y f x ，  2,3x   ，则 y ___________。 （2）若 ( )y f x 的定义域为 4,4 ，则函数 ( 1)y f x  的定义域为____________。 （3）该函数的单调增区间为__________、 __________、_________。 （4）方程 ( ) 3f x  （  4,4x   ）的解个数为____(个)。 11．函数 122  xxy 在区间[-3，a]上是增函数，则 a 的取值范围是________。 12．函数   2 1f x x  的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿。 三、解答题： 13．画出函数 |6| 2  xxy 的图象，并求出此函数的单调区间。 14．利用函数单调性定义，证明函数 21 x xy  在（-1，1）上是增函数。