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- 2021-04-19 发布
卓越联盟2016-2017学年度第一学期第三次月考
高二数学试题（理）
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2. 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
4．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.54 B.162 C. D.
5．已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.3
7．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
9．如果双曲线经过点，且它的渐近线方程为，那么该双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于点，若，则直线的斜率等于（ ）
A. B. C. D.
11.下列说法的正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程来表示
12．已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法：
①当时，使为直角三角形的点有且只有4个；
②当时，使为直角三角形的点有且只有6个；
③当时，使为直角三角形的点有且只有8个；
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为 .
14.已知向量，，且与互相垂直，则的值为 .
15.在如图所示的正方体中,异面直线与所成角的大小为_______.
D1
C1
B1
A1
D
C
A
B
16．给出如下命题:
①“在中，若，则”为真命题;
②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段;
③若为假命题，则都是假命题;
④设，则“”是“”的必要不充分条件;
⑤若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为;
其中所有正确命题的序号是_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题10分）已知直线．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离．
18．（本题12分）已知命题，；命题关于的方程有两个相异实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
19.（本题12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1)求证：PA∥平面EDB；
（2)求证：PB⊥平面EFD；
（3)求二面角C－PB－D的大小.
20．（本题12分）已知为圆上的动点,，为定点.
（1）求线段中点M的轨迹方程；
（2）若，求线段中点N的轨迹方程.
21.（本题12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，．
（1）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程．
22．（本题12分）如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
2016-2017学年度第一学期高二月考三数学（理）答案
1.B 2. B. 3. D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10. D 11.D 12．D
13． 14. 15. 16①②④
17. 解：（1）由知，解得； ……4
（2）当时，有解得， ……8
，即，距离为．
……10
18．解:令，则在上是增函数，
故当时，最小值为，故若为真，则，. ……2分
即时，方程有两相异实数根，
∴； ……4分
（1）若为真，则实数满足故，
即实数的取值范围为 ……8分
（2）若为真命题，为假命题，则、一真一假，
若真假，则实数满足即；
若假真，则实数满足即.
综上所述，实数的取值范围为. ……12
19.
（1) 证明: 如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点.
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO. ……2
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB. ……4
（2)证明: ∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，
∴PD⊥DC.
∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.
而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.① ……6
同样，由PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC,又PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PDC.
而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②且PC∩BC＝C可得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD. ……8
（3)解 由（2)知，PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角. ……9
由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，
则PD＝DC＝a，BD＝a，
PB＝a，PC＝a，DE＝a，
在Rt△PDB中，DF＝a.
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，
∴∠EFD＝60°. ……11
∴二面角C－PB－D的大小为60°. ……12
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理，二面角
20．解:（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为. ……2
∵点在圆上，
∴. ……4
故线段中点的轨迹方程为 ……5
（2）设的中点为，
在中，， ……7
设为坐标原点，连结，则，
所以， ……9
所以. …….11
故中点的轨迹方程为 ……12
考点：圆的方程的求解.
21.解:（1）为等边三角形，则 ……2
椭圆的方程为：； ……3
（2）容易求得椭圆的方程为， ……5
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意； ……6
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由 得，设，，
则，， ……8
，，
∵，
∴，
即
……10
解得，即，
故直线的方程为或. ……12
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．
22．(1)证明：连结，设与相交于点，连接，则为中点，
为的中点，∴ ……2
∵B
∴. ……4
（2）取的中点，连结，则
，故，∴
，∴ ……8
取中点，连结，过点作，则
连结，，
∴为直线与平面所成的角， ……10
即直线与平面所成的角的正弦值为. ……12