2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§3-7　函数与方程（讲解部分） 15页

考点　函数的零点与方程的根 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数 y = f ( x ),把使①      f ( x )=0     的实数 x 叫做函数 y = f ( x )的零点. (2)三个等价关系:方程 f ( x )=0有实数根 ⇔ 函数 y = f ( x )的图象与②      x 轴     有 交点 ⇔ 函数 y = f ( x )有③ 　零点     . 2.函数零点存在性定理   考点清单 注意　零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能判 断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上至多有 一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[ a , b ]上连续不断的,且 f ( a )· f ( b )<0的函数 y = f ( x ),通过不断地把函 数 f ( x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而 得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数 f ( x )零点近似值的步骤 第一步,确定区间[ a , b ],验证④      f ( a )· f ( b )<0     ,给定精确度ε; 第二步,求区间( a , b )的中点 c ; 第三步,计算 f ( c ): (i)若 f ( c )=0,则 c 就是函数的零点; (ii)若 f ( a )· f ( c )<0,则令 b = c (此时零点 x 0 ∈( a , c )); (iii)若 f ( c )· f ( b )<0,则令 a = c (此时零点 x 0 ∈( c , b )); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若| a - b |<ε,则得到零点近似值 a (或 b );否则, 重复第二、三、四步. 考法一 　函数零点的个数及所在区间的判断方法 知能拓展 例1 　(1)方程log 3 x + x =3的根所在的区间为   (　　) A.(0,1)　    B.(1,2)　    C.(2,3)　    D.(3,4) (2)设函数 y = x 3 与 y =   的图象的交点为( x 0 , y 0 ),若 x 0 ∈( n , n +1), n ∈N,则 x 0 所 在的区间是 　　　     . 解题导引 　(1)解法一:利用零点存在性定理进行判断. 解法二:图象法. (2)分别画出函数 y = x 3 与 y =   的图象,利用函数零点存在性定理进行判断. 解析 　(1)解法一:方程log 3 x + x =3的根即是函数 f ( x )=log 3 x + x -3的零点,由于 f (2)=log 3 2+2-3=log 3 2-1<0, f (3)=log 3 3+3-3=1>0且函数 f ( x )在(0,+ ∞ )上为单调 增函数,所以根据零点存在性定理知函数 f ( x )的零点所在区间为(2,3).即方 程log 3 x + x =3的根所在区间为(2,3),故选C. 解法二:方程log 3 x + x =3的根所在区间即是函数 y 1 =log 3 x 与 y 2 =3- x 的图象交点 横坐标所在区间,两函数图象如图所示.   由图知方程log 3 x + x =3的根所在区间为(2,3). (2)设 f ( x )= x 3 -   ,则 x 0 是函数 f ( x )的零点,在同一坐标系下画出函数 y = x 3 与 y =   的图象如图所示. 因为 f (1)=1-   =-1<0, f (2)=8-   =7>0, 所以 f (1) f (2)<0,所以 x 0 ∈(1,2). 答案　 (1)C　(2)(1,2) 方法总结 　确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法:当对应方程 f ( x )=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否 落在给定区间上. (2)利用函数零点存在性定理:首先看函数 y = f ( x )在区间[ a , b ]上的图象是否 连续,再看是否有 f ( a )· f ( b )<0.若有,则函数 y = f ( x )在区间( a , b )内必有零点. (3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点 来判断. 例2　 (1)已知函数 y = f ( x )是周期为2的周期函数,且当 x ∈[-1,1]时, f ( x )=2| x |-1, 则函数 F ( x )= f ( x )-|lg x |的零点个数是   (　　) A.9　    B.10　    C.11　    D.18 (2)(2018安徽安庆二模,9)定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )=   且 f ( x +1)= f ( x -1),若 g ( x )=3-log 2 x ,则函数 F ( x )= f ( x )- g ( x )在(0,+ ∞ )内的零点个数为(　　) A.3　    B.2　    C.1　    D.0 (3)函数 f ( x )=   的零点个数是 　　　     . 解题导引 　(1)函数 F ( x )的零点个数就是函数 y = f ( x )与 y =|lg x |图象交点的个 数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数. (2) (3)画出函数的图象,结合图象确定零点的个数. 解析 　(1)由 F ( x )=0得 f ( x )=|lg x |,所以函数 F ( x )= f ( x )-|lg x |的零点个数就是函 数 y = f ( x )与 y =|lg x |图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:   当0< x ≤ 10时,有10个交点;当 x >10时,|lg x |>1,所以此时函数 y = f ( x )与 y =|lg x | 的图象无交点.故函数 F ( x )= f ( x )-|lg x |的零点个数是10. (2)由 f ( x +1)= f ( x -1)知 f ( x )的周期是2,画出函数 f ( x )和 g ( x )的部分图象,如图所 示,由图象可知 f ( x )与 g ( x )的图象有2个交点,故 F ( x )在(0,+ ∞ )内有2个零点.故 选B.   (3)当 x >0时,作函数 y =ln x 和 y = x 2 -2 x 的图象,如图.   由图知,当 x >0时, f ( x )有2个零点; 当 x ≤ 0时,由 f ( x )=0得 x =-   . 综上, f ( x )有3个零点. 答案 　(1)B　(2)B　(3)3 方法总结　 判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令 f ( x )=0,如果有解,则有几个不同的解就有几个零点. (2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数图象在[ a , b ]上的图象连 续,且 f ( a )· f ( b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期 性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有 几个不同的零点. 考法二 　函数零点性质的应用 例3 　(1)已知函数 f ( x )=2 x + x , g ( x )= x -lo   x , h ( x )=log 2 x -   (0< x <10)的零点分别 为 x 1 , x 2 , x 3 ,则 x 1 , x 2 , x 3 的大小关系是   (　　) A. x 1 > x 2 > x 3 　    B. x 2 > x 1 > x 3 C. x 1 > x 3 > x 2 　    D. x 3 > x 2 > x 1 (2)(2015天津,8,5分)已知函数 f ( x )=   函数 g ( x )= b - f (2- x ),其中 b ∈R. 若函数 y = f ( x )- g ( x )恰有4个零点,则 b 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   (3)(2015北京高考改编)设函数 f ( x )=   若 f ( x )恰有2个零点,则 实数 a 的取值范围是 　　　　　　　　     . 解题导引 　(1)分别作出函数 y =2 x , y =- x , y = x , y =lo   x , y =log 2 x , y =   的图象,结 合图象确定 x 1 , x 2 , x 3 的大小关系. (2) (3)根据题意,对 a 进行分类讨论,根据零点个数确定实数 a 的取值范围. 解析 　(1)由 f ( x )=2 x + x =0, g ( x )= x -lo   x =0, h ( x )=log 2 x -   =0得2 x =- x , x =lo   x ,log 2 x =   . 在坐标系中分别作出 y =2 x , y =- x , y = x , y =lo   x , y =log 2 x , y =   的图象,如图. 由图可知 x 1 < x 2 < x 3 . (2) f ( x )- g ( x )=0,即 b = f ( x )+ f (2- x ),函数 y = f ( x )- g ( x )有4个零点,可转化为直线 y = b 与 y = f ( x )+ f (2- x )的图象有4个不同的交点. 又 y = f ( x )+ f (2- x )=   在同一直角坐标系中分别画出直线 y = b 与 y = f ( x )+ f (2- x )的图象(如图),可得   < b <2,故选D. (3)若 a >0,当 x <1, f ( x )=2 x - a 恰有一个零点log 2 a 时,有   解得   ≤ a <1; 当 x <1, f ( x )=2 x - a 无零点时,有   解得 a ≥ 2.若 a ≤ 0,当 x <1时, f ( x )无零点; 当 x ≥ 1时,由题意知应恰有两个零点,所以   无解.综上,   ≤ a <1或 a ≥ 2. 答案 　(1)D　(2)D　(3)   ≤ a <1或 a ≥ 2 方法总结 　零点性质的应用 已知函数有零点(方程有根)求参数的值或取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式 (组)确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象,然后数形结合进行求解.