2020_2021学年新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册 6页

指数与对数 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 指数的运算 指数幂运算的一般原则 ‎(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．‎ ‎(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．‎ ‎(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．‎ ‎(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．‎ ‎[思路点拨]　按照指数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．‎ - 6 -‎ ‎1．‎ 对数的运算 ‎1．对数的运算应遵循的原则 - 6 -‎ 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．‎ ‎2．对于底数相同的对数式的化简常用的方法 ‎(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．‎ ‎(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．‎ ‎【例2】　计算下列各式：‎ - 6 -‎ ‎3．计算下列各式：‎ ‎(1)lg 25＋lg 2＋lg＋lg(0．01)－1；‎ ‎(2)2log32－log3＋log38－3log55．‎ ‎[解]　(1)法一：原式＝lg[25×2×10×(10－2)－1]‎ ‎＝lg(5×2×10×102)＝lg 10＝．‎ 法二：原式＝lg 52＋lg 2＋lg 10－lg 10－2‎ ‎＝(lg 5＋lg 2)＋－(－2)＝lg 10＋＋2‎ ‎＝1＋＋2＝．‎ ‎(2)法一：原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3‎ ‎＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1．‎ 法二：原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2－3＝－1．‎ - 6 -‎ 利用对数的运算性质进行求值 对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．‎ ‎【例3】　若lg a＋lg b＝4，lg a·lg b＝，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．‎ ‎[解]　lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b) ‎＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝4×＝248．‎ ‎4．若logab＋3logba＝，则用a表示b的式子是　　　　．‎ b＝或b＝a6　[ 原式可化为＋3logba＝，‎ 整理得3(logba)2＋1－logba＝0，即6(logba)2－13logba＋2＝0．‎ 解得logba＝2或logba＝，所以b2＝a或b＝a．即b＝或b＝a6．]‎ ‎5．已知lg a＋lg b＝2lg(a－2b)，求log2的值．‎ ‎[解]　因为lg a＋lg b＝2lg(a－2b)，‎ 所以lg ab＝lg(a－2b)2，‎ ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，‎ 即(a－b)(a－4b)＝0，‎ 所以a＝b或a＝4b．‎ 又因为a－2b>0，‎ 所以a＝4b，log2＝log24＝2．‎ 解简单的指数和对数方程 - 6 -‎ 解简单的指数和对数方程的三种方法 ‎(1)化同底：将指数方程变形为am＝an⇔m＝n．‎ 形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且 求解．‎ ‎(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．‎ ‎(3)换元法：设t＝ax(t＝logax)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x．‎ ‎【例4】　根据下列条件，分别求实数x的值：‎ ‎(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；‎ ‎(2)32x＋1－6x＝22x＋2．‎ ‎[解]　(1)原方程可化为log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝．经检验知，原方程的解为x＝．‎ ‎(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，‎ 因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，‎ 则3×3x－4×2x＝0，即＝， 解得x＝log ．‎ ‎6．解下列关于x的方程：‎ ‎(1)lg＝lg(x－1)；‎ ‎(2)log4(3－x)＋log0．25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0．25(2x＋1)．‎ ‎[解]　(1)原方程等价于 解之得x＝2．‎ 经检验x＝2是原方程的解，所以原方程的解为x＝2．‎ ‎(2)原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)．‎ 即log4＝log4．‎ 整理得＝，解之得x＝7或x＝0．‎ 当x＝7时，3－x＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x＝0满足，‎ 所以原方程的解为x＝0．‎ - 6 -‎