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- 2021-04-19 发布
高二数学期中测试
考试时间：120分钟；
一、单选题：（每题5分，共60分）
1．若，则下列不等式中不正确的是（）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（）
A．B．C．D．
3．袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若则当取最小值时,此时x,y分别为( )
A．4,3 B．3,3 C．3,4 D．4,4
5．把十进制73化成四进制后，其末位数字是 （ ）
A．０ B．１ C．２ D．3
6．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．22 B．46 C． D．190
7．从编号为001，002，…，460的460个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，己知样本中编号最小的两个编号分别为007，030，则样本中第5个产品的编号应该为（）
A．099 B．122 C．145 D．168
8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为( )
A.4.5 B.3.15 C.3.5 D.3
9．在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x-1＜0”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．从数字1，2，3，4，5任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．下图是2008年“皇华之春”晚会上，七位评委为某舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．已知点A(a，b)与点B(1,0)在直线3x－4y＋10＝0的两侧，给出下列说法：
①3a－4b＋10>0； ②当a>0时，a＋b有最小值，无最大值；③>2；
④当a>0且a≠1，b>0时，的取值范围为∪.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题5分，共20分)
13．设变量，满足，则的最大值为________．
14．已知，且，那么的取值范围是_________.
15．已知点是边长为4的正方形内任一点，则到四个顶点的距离均大于2的概率是________．
16．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
三、解答题
17．（本小题满分10分）设函数．
（1）若不等式的解集，求的值；
（2）若，a>0,b>0.求的最小值；
18．（本小题满分12分）为了解学生的学习情况，某学校在一次考试中随机抽取了20名学生的成绩，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，绘制了如图所示频率分布直方图.求：
(Ⅰ)图中m的值；
(II)估计全年级本次考试的平均分；
(III)若从样本中随机抽取分数在[80，100]的学生两名，求所抽取两人至少有一人分数不低于90分的概率.
19．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别是、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
20．（本小题满分12分）已知数列是等比数列，且公比，为其前项和，,．
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 令，的前项和为，求．
21．（本小题满分12分） 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
（1）求销售额的方差； （2）求回归直线方程.
(参考数据： .)
22．（本小题满分12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表
高三
高二
高一
女生
100
150
z
男生
300
450
600
按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率。
参考答案
1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．A 11．A 12．B
【解析】因为点A(a，b)，B(1,0)在直线3x－4y＋10＝0的两侧，所以(3a－4b＋10)(3－0＋10)<0，
即3a－4b＋10<0，故①错误；
因为a>0时，点(a，b)对应的平面区域如图(不含边界)，
所以a＋b既没有最小值，也没有最大值，故②错误；
因为原点到直线3x－4y＋10＝0的距离为＝2，而点(a，b)在直线3x－4y＋10＝0的左上方，所以>2，故③正确；的几何意义是点(a，b)与(1,0)的连线的斜率，
由图可知，取值范围是∪，故④正确．
13．2 14． 15． 16．
【详解】①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
解得： 综上所述：
17．（1）（2）①9，②
【详解】由已知可知，的两根是
所以 ，解得.
（2）①
，
当时等号成立，
因为， 解得时等号成立，此时的最小值是9.
18．(I)0.045; (II)75;(III)0.7
【详解】(Ⅰ)由题意可得：
(Ⅱ)各组的频率分别为0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估计全年级的平均分为；
(Ⅲ)分数落在[80，90)的人数有3人，设为a，b，c，落在[90，100的人数有2人，设为A、B，则从中随机抽取两名的结果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10种，其中至少有一人不低于90分的有7种，故概率为0.7.
19．解: （1）
． ………6分
（2）．
∴， ………9分
当且仅当时,有最大值，
∴． ………12分
20．(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】（Ⅰ）,,
则或,因为,所以,所以,则;---------------6分
（Ⅱ）,
则①
则2②
所以①-②
则.--------------------------------------------------12分
21．(1）200;(2) .
解析：（1）计算得
(2),又已知 ，
于是可得： ，
= ， 因此，所求回归直线方程为： .
22．（1）400 （2） （3）
【解析】（1）设该校总人数为n人,由题意得,，
所以n=2000．z=2000-100-300-150-450-600=400；……………………4分
（2）设所抽样本中有m个女生,因为用分层抽样的方法在高一女生中抽取一个容量为5的样本，所以，
解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作S1，S2；B1 ，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2）, （S2,B3），（S1, S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共10个，
其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1, S2），
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为．……………………8分
（3）样本的平均数为，
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的数为9．4, 8．6, 9．2, 8．7, 9．3,
9．0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率为．……………………12分