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- 2021-04-19 发布
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．如果抛物线方程为y2=4x，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）
2．双曲线x2﹣=﹣1的渐近线方程为（ ）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．过点A（2，b）和点B（3，﹣2）的直线的斜率为﹣1，则b的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=1
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（ ）
A．2x﹣3y=0 B．x+y+5=0
C．2x﹣3y=0或x+y+5=0 D．x+y+5=0或x﹣y+1=0
7．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1
9．设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．8
10．如果椭圆+=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（ ）
A．x﹣2y=0 B．2x﹣3y﹣2=0 C．x+2y﹣8=0 D．x﹣2y﹣8=0
11．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A．[﹣，0] B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上）
13．在空间直角坐标系O﹣xyz中，有两点P（1，﹣2，3），M（2，0，4）则两点之间的距离为 ．
14．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是 ．
15．按如图所示的程序运行后输出的结果为 ．
16．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是 ．
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线l1：x+my+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求实数m的值使得：
（1）l1，l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1∥l2．
18．已知平面直角坐标系中两定点为A（2，3），B（5，3），若动点M满足|AM|=2|BM|．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若直线l：y=x﹣5与M的轨迹交于C，D两点，求CD的长度．
19．如图，曲线C由上半椭圆C1： +=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
20．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．如果抛物线方程为y2=4x，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，
∴焦点坐标为：（1，0）
故选A．
2．双曲线x2﹣=﹣1的渐近线方程为（ ）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线，
即，它的a=，b=1，焦点在y轴上，
而双曲线的渐近线方程为y=±，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
故选：D．
3．过点A（2，b）和点B（3，﹣2）的直线的斜率为﹣1，则b的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【考点】直线的斜率．
【分析】利用斜率计算公式即可得出．
【解答】解：由题意可得： =﹣1，解得b=﹣1．
故选：D．
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=1
【考点】圆的标准方程．
【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．
法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．
法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．
【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），
则由题意知，
解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．
故选A．
解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），
故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1
故选A．
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，
排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．
故选：A．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】程序框图．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；
第二次循环n=2，22=4．
不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．
故选：B．
6．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（ ）
A．2x﹣3y=0 B．x+y+5=0
C．2x﹣3y=0或x+y+5=0 D．x+y+5=0或x﹣y+1=0
【考点】直线的截距式方程．
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①
当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（﹣3，﹣2）代入所设的方程得：a=﹣5，则所求直线的方程为x+y=﹣5即x+y+5=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（﹣3，﹣2）代入所求的方程得：k=，则所求直线的方程为y=x即2x﹣3y=0．
综上，所求直线的方程为：2x﹣3y=0或x+y+5=0．
故选：C
7．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．
【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1
圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2
∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|
∴两圆的位置关系是相交．
故选 B
8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
9．设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．8
【考点】双曲线的应用．
【分析】先由已知，得出．再由向量的数量积为0得出直角三角形PF1F2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得||•||的值．
【解答】解：由已知，则．
即，
得．
故选A．
10．如果椭圆+=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（ ）
A．x﹣2y=0 B．2x﹣3y﹣2=0 C．x+2y﹣8=0 D．x﹣2y﹣8=0
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．
【解答】解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
则有=1①，=1②，
①﹣②式可得： +=0，
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0
即得kEF==﹣
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．
故选：C
11．已知椭圆C： =1（a＞b＞
0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．
【解答】解：如图所示，
在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，
由余弦定理得
|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF
=100+64﹣2×10×8×
=36，
∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e==．
故选B．
12．直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2
，则k的取值范围是（ ）
A．[﹣，0] B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．
【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，
即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上）
13．在空间直角坐标系O﹣xyz中，有两点P（1，﹣2，3），M（2，0，4）则两点之间的距离为 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】由空间两点间距离公式，直接求解即可得出结论．
【解答】解：∵P（1，﹣2，3），M（2，0，4），
∴|PM|==．
故答案为
14．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是 4 ．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2=2px的焦点坐标得p=4，利用抛物线的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线﹣y2=1中a2=3，b2=1
∴c=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y2=2px的焦点（，0）即F（2，0）
∴=2，即p=4，
∴抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是2+2=4
故答案为4．
15．按如图所示的程序运行后输出的结果为 22 ．
【考点】伪代码．
【分析】利用条件语句，确定变量的赋值方法，即可求得结论．
【解答】解：由题意，若x＜0，则将y﹣3赋给x；若x＞0，则将y+3赋给x
∴x=5，y+3=﹣20+3=﹣17，∴x﹣y=5+17=22
故答案为：22．
16．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1
B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率．
【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），
∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0，
整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，
∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），
∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．
∵|MF2|=|F1F2|，
∴﹣c=2c．
∴c2=3b2=3（c2﹣a2），
∴c2=a2，
∴e==．
故答案为：．
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线l1：x+my+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求实数m的值使得：
（1）l1，l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1∥l2．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．
（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出m的值．
（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m的值．
【解答】解：（1）当l1和l2相交时，1×3﹣（m﹣2）m≠0，
由1×3﹣（m﹣2）m=0，m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1，或m=3，∴当m≠﹣1且m≠3时，l1和l2相交．
（2）l1⊥l2 时，1×（m﹣2）+m×3=0，m=，∴当m=时，l1⊥l2．
（3）∵m=0时，l1不平行l2，l1∥l2⇔，解得m=﹣1．
18．已知平面直角坐标系中两定点为A（2，3），B（5，3），若动点M满足|AM|=2|BM|．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若直线l：y=x﹣5与M的轨迹交于C，D两点，求CD的长度．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）利用直接法，可求动点M的轨迹方程；
（2求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，求CD的长度．
【解答】解：（1）设M（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（x﹣5）2+4（y﹣3）2，即（x﹣6）2+（y﹣3）2=4．
（2）圆心（6，3）到直线的距离d==，
∴|CD|=2=2．
19．如图，曲线C由上半椭圆C1： +=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，
）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
代入C1的方程，整理得
（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）
设点P（xp，yp），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得xp=，从而yp=，
∴点P的坐标为（，）．
同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），
∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴ •=0，即 [k﹣4（k+2）]=0，
∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．
经检验，k=﹣符合题意，
故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．
20．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得．
（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．
【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y﹣4．
由得2y2﹣（8+p）y+8=0
①②∴
又∵，∴y2=4y1③
由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y．
（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）
由得：x2﹣4kx﹣16k=0④
∴．
∴BC的中垂线方程为
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2
对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．
∴b∈（2，+∞）