2019届二轮复习随机变量及其分布课件（48张）（全国通用） 48页

6 . 3 . 2 　 随机变量及其分布 - 2 - 考向一 考向二 考向三 依据统计数据求事件发生的概率 例 1 某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 　 73 　 81 　 92 　 95 　 85 　 74 　 64 　 53 　 76 78 　 86 　 95 　 66 　 97 　 78 　 88 　 82 　 76 　 89 B地区:73 　 83 　 62 　 51 　 91 　 46 　 53 　 73 　 64 　 82 93 　 48 　 65 　 81 　 74 　 56 　 54 　 76 　 65 　 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); - 3 - 考向一 考向二 考向三 (2) 根据用户满意度评分 , 将用户的满意度从低到高分为三个等级 : 记事件 C :“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ” . 假设两地区用户的评价结果相互独立 . 根据所给数据 , 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 , 求 C 的概率 . - 4 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 两地区用户满意度评分的茎叶图如下 : 通过茎叶图可以看出 ,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值 ;A 地区用户满意度评分比较集中 ,B 地区用户满意度评分比较分散 . - 5 - 考向一 考向二 考向三 (2) 记 C A1 表示事件 :“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意 ”; C A2 表示事件 :“A 地区用户的满意度等级为非常满意 ”; C B1 表示事件 :“B 地区用户的满意度等级为不满意 ”; C B2 表示事件 :“B 地区用户的满意度等级为满意 ”, 则 C A1 与 C B1 独立 , C A2 与 C B2 独立 , C B1 与 C B2 互斥 , C=C B1 C A1 ∪ C B2 C A2 . P ( C ) =P ( C B1 C A1 ∪ C B2 C A2 ) =P ( C B1 C A1 ) +P ( C B2 C A2 ) =P ( C B1 ) P ( C A1 ) +P ( C B2 ) P ( C A2 ) . - 6 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 1 . 直接法 : 正确分析复杂事件的构成 , 将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的事件或一独立重复试验问题 , 然后用相应概率公式求解 . 2 . 间接法 : 当复杂事件正面情况比较多 , 反面情况比较少 , 则可利用其对立事件进行求解 , 即 “ 正难则反 ” . 对于 “ 至少 ”“ 至多 ” 等问题往往也用这种方法求解 . - 7 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 1 (2018 河北唐山三模 , 理 18)某球迷为了解 A , B 两支球队的攻击能力,从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛 . 两队所得分数分别如下: A球队:122 　 110 　 105 　 105 　 109 　 101 　 107 　 129 　 115 100 　 114 　 118 　 118 　 104 　 93 　 120 　 96 　 102 　 105 　 83 B球队:114 　 114 　 110 　 108 　 103 　 117 　 93 　 124 　 75 106 　 91 　 81 　 107 　 112 　 107 　 101 　 106 　 120 　 107 　 79 (1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图,并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); - 8 - 考向一 考向二 考向三 (2) 根据球队所得分数 , 将球队的攻击能力从低到高分为三个等级 : 记事件 C :“ A 球队的攻击能力等级高于 B 球队的攻击能力等级 ” . 假设两支球队的攻击能力相互独立 . 根据所给数据 , 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 , 求 C 的概率 . - 9 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 两队所得分数的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出 ,A 球队所得分数的平均值高于 B 球队所得分数的平均值 ; A 球队所得分数比较集中 ,B 球队所得分数比较分散 . - 10 - 考向一 考向二 考向三 (2) 记 C A1 表示事件 :“A 球队攻击能力等级为较强 ”, C A2 表示事件 :“A 球队攻击能力等级为很强 ”; C B1 表示事件 :“B 球队攻击能力等级为较弱 ”, C B2 表示事件 :“B 球队攻击能力等级为较弱或较强 ”, - 11 - 考向一 考向二 考向三 离散型随机变量的分布列 ( 多维探究 ) 题型1 　 相互独立事件、互斥事件的概率及分布列  例 2 (2018 河北保定一模 , 理 18)某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放着编号为4,5的两个小球(小球除编号外其他都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所买的衣服打7折) . 要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数 . 已知 A 、 B 、 C 三位顾客各买了一件衣服 . (1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率; (2) A 、 B 两位顾客都选了定价为2 000元的一件衣服,设 X 为打折后两位顾客的消费总额,求 X 的分布列和数学期望 . - 12 - 考向一 考向二 考向三 - 13 - 考向一 考向二 考向三 - 14 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 字母表示事件法 : 使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证 . 引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确 , 使得问题描述有条理 , 不会有遗漏 , 也不会重复 . - 15 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 2 (2018 北京卷 , 理 17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表 : 好评率是指 : 一类电影中获得好评 的部数与该类电影的部数的比值 . 假设所有电影是否获得好评相互独立 . - 16 - 考向一 考向二 考向三 (1) 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部 , 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 ; (2) 从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部 , 估计恰有 1 部获得好评的概率 ; (3) 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等 . 用 “ ξ k = 1” 表示第 k 类电影得到人们喜欢 ,“ ξ k = 0” 表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 ( k= 1,2,3,4,5,6) . 写出方差 Dξ 1 , Dξ 2 , Dξ 3 , Dξ 4 , Dξ 5 , Dξ 6 的大小关系 . - 17 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 设 “ 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部 , 这部电影是获得好评的第四类电影 ” 为事件 A , 第四类电影中获得好评的电影为 200 × 0 . 25 = 50( 部 ) . (2) 设 “ 从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部 , 恰有 1 部获得好评 ” 为事件 B , P ( B ) = 0 . 25 × 0 . 8 + 0 . 75 × 0 . 2 = 0 . 35 . - 18 - 考向一 考向二 考向三 - 19 - 考向一 考向二 考向三 - 20 - 考向一 考向二 考向三 - 21 - 考向一 考向二 考向三 题型2 　 超几何分布  例 3 (2018 天津卷 , 理 16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16 . 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查 . (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查 . ① 用 X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; ② 设 A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率 . - 22 - 考向一 考向二 考向三 - 23 - 考向一 考向二 考向三 - 24 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 超几何分布 : 一般地 , 在含有 M 件次品的 N 件产品中 , 任取 n 件 , 其中恰有 X 件次品 , 则 P ( X=k ) = , k= 0,1, … , m , 其中 m= min{ M , n }, 且 n ≤ N , M ≤ N , n , M , N ∈ N * . - 25 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 3 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共设有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个 . (1)若甲、乙二人依次各抽一题,计算: ① 甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是多少? ② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? (2)若甲从中随机抽取5个题目,其中判断题的个数为 ξ ,求 ξ 的分布列和期望 . - 26 - 考向一 考向二 考向三 - 27 - 考向一 考向二 考向三 题型3 　 条件概率与其分布列的综合  例 4 某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 设 该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: ( 1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 . - 28 - 考向一 考向二 考向三 - 29 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 在 P ( A|B ) 中 , 事件 A , B 的发生有时间上的差异 , B 先 A 后 ; 在 P ( AB ) 中 , 事件 A , B 同时发生 . - 30 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 4 某市环保知识竞赛由甲、乙两支代表队进行总决赛,每队各有3名队员,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或者不答都得0分 . 已知甲队3人答对的概率分别 为 , 乙队每人答对的概率 都是 , 设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ 表示甲队总得分 . (1)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E ( ξ ); (2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率 . - 31 - 考向一 考向二 考向三 - 32 - 考向一 考向二 考向三 - 33 - 考向一 考向二 考向三 题型4 　 二项分布  例 5 (2018 全国卷 1, 理 20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品 . 检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 . 设每件产品为不合格品的概率都为 p (0 0; 当 p ∈ (0 . 1,1) 时 , f' ( p ) < 0 . 所以 f ( p ) 的最大值点为 p 0 = 0 . 1 . (2) 由 (1) 知 , p= 0 . 1 . ① 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 , 依题意知 Y~B (180,0 . 1), X= 20 × 2 + 25 Y , 即 X= 40 + 25 Y. 所以 EX=E (40 + 25 Y ) = 40 + 25 EY= 490 . ② 如果对余下的产品作检验 , 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 . 由于 EX> 400, 故应该对余下的产品作检验 . - 35 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 对于实际问题中的随机变量 X , 如果能够断定它服从二项分布 B ( n , p ), 那么其概率、期望与方差可直接利用公式 P ( X=k ) = p k (1 -p ) n-k ( k= 0,1,2, … , n ), E ( X ) =np , D ( X ) =np (1 -p ) 求得 , 因此 , 熟记二项分布的相关公式 , 可以避免烦琐的运算过程 , 提高运算速度和准确度 . - 36 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 5 (2018 宁夏银川一中一模 , 理 18) 人们常说的 “ 幸福感指数 ” 就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标 , 常用区间 [0,10] 内的一个数来表示 , 该数越接近 10 表示满意度越高 . 为了解某地区居民的幸福感情况 , 随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查 , 调查数据如表所示 : - 37 - 考向一 考向二 考向三 (1) 在图中绘出频率分布直方图 ( 说明 : 将各个小矩形纵坐标标注在相应小矩形边的最上面 ), 并估算该地区居民幸福感指数的平均值 ; (2) 若居民幸福感指数不小于 6, 则认为其幸福 . 为了进一步了解居民的幸福满意度 , 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查 , 用 X 表示他们之中幸福夫妻 ( 夫妻二人都感到幸福 ) 的对数 , 求 X 的分布列及期望 ( 以样本的频率作为总体的概率 ) . - 38 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 频率分布直方图如图所示 . 所求的平均值为 0 . 01 × 2 × 1 + 0 . 015 × 2 × 3 + 0 . 2 × 2 × 5 + 0 . 15 × 2 × 7 + 0 . 125 × 2 × 9 = 6 . 46 . - 39 - 考向一 考向二 考向三 - 40 - 考向一 考向二 考向三 样本的均值、方差与正态分布的综合 例 6 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm) . 根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) . (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在( μ - 3 σ , μ + 3 σ )之外的零件数,求 P ( X ≥ 1)及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在( μ - 3 σ , μ + 3 σ )之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查 . ① 试说明上述监控生产过程方法的合理性; ② 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: - 41 - 考向一 考向二 考向三 - 42 - 考向一 考向二 考向三 - 43 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 抽取的一个零件的尺寸在 ( μ- 3 σ , μ+ 3 σ ) 之内的概率为 0 . 997 3, 从而零件的尺寸在 ( μ- 3 σ , μ+ 3 σ ) 之外的概率为 0 . 002 7, 故 X~B (16,0 . 002 7) . 因此 P ( X ≥ 1) = 1 -P ( X= 0) = 1 - 0 . 997 3 16 ≈0 . 042 3 . X 的数学期望为 E ( X ) = 16 × 0 . 002 7 = 0 . 043 2 . (2) ① 如果生产状态正常 , 一个零件尺寸在 ( μ- 3 σ , μ+ 3 σ ) 之外的概率只有 0 . 002 7, 一天内抽取的 16 个零件中 , 出现尺寸在 ( μ- 3 σ , μ+ 3 σ ) 之外的零件的概率只有 0 . 042 3, 发生的概率很小 . 因此一旦发生这种情况 , 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 , 需对当天的生产过程进行检查 , 可见上述监控生产过程的方法是合理的 . - 44 - 考向一 考向二 考向三 - 45 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 解决正态分布有关的问题 , 在理解 μ , σ 2 意义的情况下 , 记清正态分布的密度曲线是一条关于 μ 对称的钟形曲线 , 很多问题都是利用图象的对称性解决的 . - 46 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 6 (2018 湖南衡阳二模 , 理 19)某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径 X 服从正态分布 N (65,4 . 84) . (1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据; (2)如果钢管的直径 X 满足60 . 6 mm ~ 69 . 4 mm为合格品(合格品的概率精确到0 . 01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数 Y 的分布列和数学期望 . (参考数据:若 X~N ( μ , σ 2 ),则 P ( μ - σ