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- 2021-04-19 发布
专题四 高端试题强化训练第三关
一、选择题
1．已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：作出的图象如下，
又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
且关于x的方程，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，
∴x2+ax+b=0的两根分别为或；
由韦达定理可得，
若，则，即；
若，则，即；
从而可知或；
故选C．
2．已知点为不等式组所表示的平面区域内的一点，点是上的一个动点，则当最大时，=（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
由已知可得 ，根据椭圆定义可知 ，双曲线定义知 ，即 ，即 ，那么 ，所以 的最小值是6，故选A.
4．四棱锥的底面是边长为6的正方形，且，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ）
A. 6 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】由题知，四棱锥是正四棱锥，球的球心在四棱锥的高上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中是斜高，为球面与侧面的切点．设，易知，所以，即，解得，故选D．
5．已知函数，．若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．已知是双曲线()的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】试题分析：设关于渐近线的对称点为，的中点为，连接，则，
，又，，点到渐近线的距离，，即．
7. 定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数在上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是上“双中值函数”,所以, 在上有两个不等实根,令 , ,故选B.
8．过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
9. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因，故函数是周期为的偶函数，如图，当时，两函数的图象相交，故当时，，故选D.
10. 在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
三点共线，
由题意建立如图所示坐标系,设 ，
则 ，
直线 的方程为 x+y=1，
直线 的方程为 ，
故联立解得, ，
故，
故 , ，
故，
故，
故故选：A.
11. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】函数的图象向左平移 个单位，得到函数 在 上为增函数，
所以 ，即： 所以 的最大值为2．故选B．
12. 已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象；若对任意实数，都有成立，则（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
因为 ，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到 ，
若对任意实数，都有成立，则的图象关于 对称，所以 ，故可取 ，有 ，故选A.
二、填空题
13．如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则 .
【答案】-1
【解析】
试题分析：从图中得出，第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以.
14．设λ>0，不等式组所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：
①当λ＝1时，W的面积为3；
②∃λ>0，使W是直角三角形区域；
③设点P(x，y)，对于∀P∈W有x＋≤4.
其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①③
【解析】当λ＝1时，不等式组变成其表示由三个点(0,0)，(2,2)，(2，－1)围成的三角形区域，易得W的面积为3，①正确；∵直线λx－y＝0的斜率为λ，直线x＋2λy＝0的斜率为－，λ×(－)＝－≠－1，且直线x＝2垂直于x轴，∴W不可能成为直角三角形区域，②错误；显然，不等式组表示的区域是由三个点(0,0)，(2,2λ)，(2，－)所围成的三角形区域，令z＝x＋，则其在三个点处的值依次为：0,4,2－，∴z＝x＋的最大值zmax＝4，③正确．
15．已知点在抛物线的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于
轴的两侧，O是坐标原点，若，则点A到动直线MN的最大距离为 ．
【答案】
16. 如图, 四棱锥中，垂直平分.，则
的值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析:设的中点为,因,,所以,即,所以,又因为,即,所以,故应填答案.
三、解答题
17．已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点，
成等差数列，且，求的值.
【解析】
（1）最小正周期：，
由得：
所以的单调递增区间为：;
（2）由可得：所以,
又因为成等差数列，所以，
而
， .
18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）
空气质量指数
空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；
（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用元，求的分布列及数学期望.
【解析】（Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为
（天）．
（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，
则：，
．
的分布列为
（元）．
19．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且
（1）求证：;
（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由.
【解析】
（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得，又平面， 所以.
三棱柱是直三棱柱，则，所以.
又，从而侧面 ，又侧面，故.
（2）由（1），则直线与平面所成的角
所以，又，所以
假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为
由是直三棱柱，所以以点为原点，以所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则由，，得
所以，
设平面的一个法向量，由， 得：
，取
由（1）知，所以平面的一个法向量
所以，解得
∴点为线段中点时，二面角的大小为
20．已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若且，已知直线与椭圆交于两点，过点且平行于直线的直线交椭圆于另一点，问：四边形能否程成为平行四边形？若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意可知，,
点是椭圆上，，即
，且
最小值1.
（Ⅱ）
设.
由得，，
，
，
直线的方程为.
由得，，
，
，
若四边形能成为平行四边形，则，
，解得.
符合条件的直线的方程为，即.
21．已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.
【解析】（Ⅰ），
依题意：当时，函数恒成立，即恒成立，
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以，即；
（Ⅱ）因为，所以是上的增函数，
又， ，所以存在使得
且当时，当时，所以的取值范围是．
又当，，当时，，
所以当时，．且有
∴．
记，则，
所以，即最小值的取值范围是．
22．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).
【解析】（1）由，得，
所以，
又由，得，得，
把两式作差得，，
代入得交点为.
（2）如图，
由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，
此时，到的距离为，
∴的面积为.