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- 2021-04-19 发布
理科数学
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1、命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2、下列四个命题,其中说法正确的是（ ）
A. 若是假命题,则也是假命题
B. 命题“若, 都是偶数,则也是偶数”的逆命题为真命题
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 命题“若,则”的否命题是“若,则”
3、下列说法中正确的是
A. “”是“函数是奇函数”的必要条件
B. 若，则
C. 若为假命题，则， 均为假命题
D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
4、设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5、已知； .若“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6、 “函数处有极值”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7、若曲线在点处的切线与平行，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
8、已知是函数的极小值点，则=（ ）
A．-16 B．-2 C．16 D．2
9、函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11、设，，，，，， 则（ ）
A． B． C． D．
12、已知为上的可导函数，且对，均有，则有（ ）
A. B．
C．
D．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13、已知，则=___________.
14、如图，函数的图象在点P处的切线
方程是，则___________.
15、已知函数有极大值和极小值，则的取值范围 是___________.
16、已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题；
①函数的值域为；
②函数在上是减函数；
③如果当时，最大值是，那么的最大值为；
④当时，函数最多有4个零点.
其中正确命题的序号是___________.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、（10分）已知命题：，命题：（）．
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
18、（12分）已知函数，
（1）求函数的的极值
（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
19、（12分）设函数，曲线在点处与直线相切.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间.
20、（12分）在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
21、（12分）已知=xlnx，=x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；
（Ⅱ）若不等式2≤+2恒成立，求实数a的取值范围．
22、已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.
理科数学(答案)
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1、【答案】B
【解析】全称命题的否定为特称，
所以“，”的否定是“，”.
故选B.
2、【答案】C
【解析】对于A. 若是假命题,则至少有一个为假命题，但当一真一假时也是真命题，A不正确；
对于B. 命题“若, 都是偶数,则也是偶数”的逆命题为：“若都是偶数,则也是偶数”真命题，易知两个奇数的和也是偶函数，B不正确；
对于C. 由，得或，所以“”是“”的必要不充分条件正确；
对于D. 命题“若,则”的否命题是“若,则”，D不正确.
故选C.
3、【答案】D
【解析】对于A中，如函数是奇函数，但，所以不正确；B中，命题，则，所以不正确；C中，若为假命题，则， 应至少有一个假命题，所以不正确；D中，命题“若，则”的否命题是“若，则”是正确的，故选D．
考点：命题的真假判定．
4、【答案】A
【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式可得，
求解绝对值不等式可得或，
据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5、【答案】C
【解析】由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，
若p为真命题，则，∴a1.
若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，
解得a≤﹣2或a≥1.
6、【答案】A
7、【答案】C【解析】由题意得，所以，因为曲线在点处的切线与平行，所以，解得，故选C．
8、【答案】D
【解析】,令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，由已知得，故选D．
9、【答案】B
【解析】由题意得，函数的导函数为，因为函数在区间上为减函数，所以恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，所以，故选B．
10、【答案】A【解析】 由得或，所以当或时，，当时，，排除B、D，又，所以函数在区间,上单调递减，在区间上单调递增，排除B，故选A.
11、【答案】B【解析】，，，，，因此的周期，，故答案为B．
12、【答案】D【解析】构造函数，依题意，为减函数，故，即D正确．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13、【答案】2
14、【答案】2.【解析】∵函数的图象在点P处的切线方程是，
∴，∴.故答案为：2.
15、【答案】或.
【解析】由题意得有两个不相等的实根，
∴或.故答案为：或.
16、【答案】①②④
【解析】因为的导函数的图象如图所示，
观察函数图象可知，在区间内，，
所以函数上单调递增，在区间内，，所以函数上单调递减，所以①②是正确的；两个极大值点，结合图象可知：函数在定义域，在处极大值，在处极大值，在处极大值，又因为，所以的最大值是，最小值为， 当时，的最大值是，那么或，所以③错误；求函数的零点，可得因为不知最小值的值，结合图象可知，当时，函数最多有4个零点，所以④正确.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、试题解析：（1）对于：，对于：，
由已知，，∴∴．
（2）若真：，若真：．
由已知，、一真一假．
①若真假，则无解；
②若假真，则∴．
18、试题解析：
（1）因为，所以。
令，得
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时．
当x变化时，，的变化情况如下表：
—2
（-2,2）
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，=,=．
（2）所以函数的最大值，函数最小值．
19 21、【答案】（1）；（2）单调增区间为：，减区间为．
试题分析：（1）由已知可知本小题利用导数的几何意义可求解，求出导函数后，题意说明且，联立方程组可解得；（2）解不等式可得增区间，解不等式可得减区间．
试题解析：（1）∵.
又∵曲线在点处与直线相切，
∴，
∴．
（2）∵，∴，
令或；
令，
所以，的单调增区间为：，
减区间为.
。
20、试题解析：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积
．
令＝0，解得x=0（舍去），x=40
并求得V（40）=16000由函数的单调性可知16000是最大值
∴当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3
21、【答案】（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是
即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．
将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．
∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．
（II）∵2f（x）≤g′（x）+2
即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立
可得对x∈（0，+∞）上恒成立
设，则
令h′（x）=0，得（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2
∴a≥﹣2．
∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．
【解析】
22、试题解析：
22、【答案】（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）
试题分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）题意说明在上恒成立，即不等式恒成立，，因此问题转化为求的最大值．
试题解析：由已知函数的定义域均为,且.
（1）函数
当且时,;当时,.
所以函数的单调减区间是,增区间是.
（2）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．