2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第11讲一元二次方程根的分布课件 36页

第 11 讲　一元二次方程根的分布 课标要求 考情风向标 结合二次函数的图象，判断 一元二次方程根的存在性 及根的个数，从而了解函数 的零点与方程根的联系 高考试题对该部分内容考查的主 要角度有两种：一种是找函数零点 个数；一种是判断零点的范围 . 另 外备考 中应该特别注意运用导数来 研究函数零点 图 2-11-1 图 2-11-2 ⑥方程有两根 ( 如图 2113) ： x 2 > k ， x 1 < k ⇔ af ( k )<0 ； 图 2-11-3 ⑦方程有且只有一根在区间 ( k 1 ， k 2 ) 内 ⇔ f ( k 1 ) f ( k 2 )<0( 如图 2-11-4) ； 图 2-11-4 图 2-11-5 1. 关于 x 的方程 x 2 ＋ ax ＋ a － 1 ＝ 0 有异号的两个实根，则 a 的取值范围是 _________. a <1 m >7 2. 若方程 8 x 2 ＋ ( m ＋ 1) x ＋ m － 7 ＝ 0 有两个负根，则实数 m 的取值范围是_________. 3. 关于 x 的方程 x 2 － ax ＋ a 2 － 4 ＝ 0 有两个正根，则实数 a 的取值范围是 _______________. 4. 若集合 A ＝ { x | ax 2 － ax ＋ 1<0} ＝ ∅ ，则实数 a 的值的集合是 ( D ) A.{ a |0< a <4} C.{ a |0< a ≤ 4} B.{ a |0 ≤ a <4} D.{ a |0 ≤ a ≤ 4} 解析： 由题意知 a ＝ 0 时，满足条件； 考点 1 一元二次方程根的分布 例 1 ： 若关于 x 的一元二次方程 ( m － 1) x 2 ＋ 2( m ＋ 1) x － m ＝ 0 ， 分别满足下列条件时，求 m 的取值范围 . (1) 一根在 (1,2) 内，另一根在 ( － 1,0) 内； (2) 一根在 ( － 1,1) 内，另一根不在 ( － 1,1) 内； (3) 一根小于 1 ，另一根大于 2 ； (4) 一根大于－ 1 ，另一根小于－ 1 ； (5) 两根都在区间 ( － 1,3) 内； (6) 两根都大于 0 ； (7) 两根都小于 1 ； (8) 在 (1,2) 内有解 . 考点 2 一元二次方程根的分布的应用 综上所述，当 a ∈{ － 3}∪(1 ，＋ ∞ ) 时，函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的 图象有且只有一个公共点 . 【 跟踪训练 】 1. 已知抛物线 y ＝－ x 2 ＋ mx － 1 ，线段 AB 以 A (3,0) ， B (0,3) 为端点： (1) 若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，求实数 m 的取值 范围； (2) 若抛物线与线段 AB 有两个公共点，求实数 m 的取值 范围 . 解： (1)线段 AB 方程为 y ＝－ x ＋3(0 ≤ x ≤ 3). 代入抛物线方程，得 x 2 － ( m ＋ 1) x ＋ 4 ＝ 0(0 ≤ x ≤ 3) ，① 问题归结为方程 x 2 － ( m ＋ 1) x ＋ 4 ＝ 0 在 [0,3] 内仅有一个实 数解 . 令 f ( x ) ＝ x 2 － ( m ＋ 1) x ＋ 4 ，结合 f ( x ) ＝ x 2 － ( m ＋ 1) x ＋ 4 在区 间 [0,3] 上 的图象可知： 思想与方法 ⊙ 运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题： 已 知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ x － 1 ＋ 3 a ( a ∈ R ) 在区间 [ － 1,1] 上有零点，求实数 a 的取值范围 . 解： 方法一，当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ x － 1 ，令 f ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1 ， 是区间 [ － 1,1] 上的零点 . 当 a ≠0 时，函数 f ( x ) 在区间 [ － 1,1] 上有零点分为三种情况： ① 方程 f ( x ) ＝ 0 在区间 [ － 1,1] 上有重根， 【规律方法】 (1) 函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ x － 1 ＋ 3 a ( a ∈ R ) 在区间 [ － 1 ,1] 上有零点，应该分类讨论：讨论 a ＝ 0 与 a ≠0 ；讨论有 一个零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论 是否是重 根； (2) 函数 f ( x ) 的零点不是“ 点 ” ，它是一个数，是方程 f ( x ) ＝ 0 的 实数根； (3) 准确理解根的存在性定理： ① f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续； ② f ( a )· f ( b )<0 ；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件， 并且满足 f ( a )· f ( b )<0 时， f ( x ) 在 [ a ， b ] 上至少有一个零点；不满 足 f ( a )· f ( b )<0 时， f ( x ) 在 [ a ， b ] 上未必无零点，也可能有多个零 点 . 【 跟踪训练 】 作出可行域如图 D12 中阴影部分 . 图 D12 显然 A ( － 1,0) ， B ( － 2,0) ， 答案： D