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- 2021-04-19 发布
2018届高三数学30个黄金考点精析精训
考点18 不等关系和基本不等式
【考点剖析】
1.最新考试说明：
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
2.命题方向预测：
预计2018年高考对本节内容的考查将与命题、充要条件相结合，题型延续选择题或填空题，分值为4分到5分，与数列、函数相结合，将不等关系隐含其中，要求学生区分“等”与“不等”，在复习时应予以关注，利用不等式性质和分析法，综合法，放缩法等证明不等式的命题趋势较强.
3.课本结论总结：
对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱、条件与结论的相互关系；在变形时要根据已知和要求证的式子的结构特征适当拆分、添项、减项及符号的变化等，多个式子同时用基本不等式，要注意各式取等号的条件必须同时成立.
4.名师二级结论：
不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题，但高考几何不可能出现单独考查不等式证明的试题，命题方向重在考查逻辑推理能力，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合.比较法是不等式证明的最基本方法，综合法的应用反映了学生对已知条件和所学知识的驾驭能力，这两种方法都是高考的重点考查内容.
5.课本经典习题：
(1)新课标A版必修5第75页，B组 2.已知，，求证.
【解析】考虑采用分析法来证明不等式：，根据不等式的性质6，可知这是显然成立的，故得证.
【经典理由】结合具体实例，给出了利用分析法证明不等式的一般步骤及不等式性质的运用.
(2) 新课标A版必修5 第100页，练习2 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
【解析】设两条直角边为，，根据基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，即最小值是.
【经典理由】结合具体实例，给出了利用基本不等式求最值的运用.
6.考点交汇展示：
(1)不等式与函数相结合
1．【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若则实数的取值范围是 .
【答案】
(2)不等式与数列相结合
【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中，若，且，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】由等差数列性质得：
= ，
等号成立的条件为 ，故选A．
【考点分类】
热点1 不等关系与不等式
1.记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根
2.【2017天津，文2】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.
【解题技巧】
(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质,例如第4题，需综合三角函数与指数函数的单调性来加以判断.
(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题
【方法规律】
应用不等式的性质解题的常见类型及方法：（1）注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；（2）若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；（3）恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题，填空题.
热点2 基本不等式
1.【2017天津，文理】若， ，则的最小值为___________.
【答案】
2.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【方法规律】
基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提.“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀.
【解题技巧】
必须掌握的三个不等式：（1），，则（当且仅当时取等号）.（2），，则（当且仅当时取等号）.（3），，则（当且仅当时取等号）.
【热点预测】
1.【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】用特殊值法,令,,得,选项A错误,,选项B错误,,选项C正确,,选项D错误,故选C．
2.【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a