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- 2021-04-19 发布
高二年级数学(文科)
第I卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（ ）．
A. 点A在椭圆C上 B. 点A在椭圆C内 C. 点A在椭圆C外 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，代入椭圆得到，确定范围得到答案.
【详解】当时，代入椭圆得到 ，
故点在椭圆内
故选B
【点睛】本题考查了点与椭圆的关系，意在考查学生的计算能力.
2. 不在3x+2y＞3表示的平面区域内的点是（ ）
A. （0，0） B. （1，1） C. （0，2） D. （2，0）
【答案】A
【解析】
试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．
解：将（0，0）代入，此时不等式3x+2y＞3不成立，故（0，0）不在3x+2y＞3表示的平面区域内，
将（1，1）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（1，1）在3x+2y＞3表示的平面区域内，
将（0，2）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（0，2）在3x+2y＞3表示的平面区域内，
将（2，0）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（2，0）在3x+2y＞3表示的平面区域内，
故选A．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
3.不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
对一元二次不等式进行因式分解，即可求得不等式的解集.
【详解】对进行因式分解可得，
解得.
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，属基础题.
4.已知、满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
作出不等式所表示可行域如图所示，
作直线，则为直线在轴上截距的4倍，
联立，解得，结合图象知，
当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最小，
此时取最小值，即，故选A.
考点：线性规划
5.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过求出的范围，然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
【详解】解：由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，是基础题.
6.命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，根据已知写出即可.
【详解】解：命题，则，
故选B.
【点睛】本题考查全称命题否定的书写，是基础题.
7.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可直接求得结果.
【详解】由椭圆方程可知：
由椭圆定义知：，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解焦半径的问题，属于基础题.
8.椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得、的值，计算可得的值，分析椭圆的焦点位置，即可得答案．
【详解】解：根据题意，椭圆的焦距为8，长轴长为10，则，，
即，，
则，
若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，
若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，
故要求椭圆的标准方程为或，
故选．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．
9.若实数满足，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式组画出其表示的平面区域，将目标函数理解为两点之间的斜率，数形结合即可求得.
【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：
目标函数，可理解为可行域中的点到点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，取得最小值.
故可得最小值为：.
故选：C.
【点睛】本题考查非线性规划问题中斜率形式的最值求解，属基础题.
10.不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将分式不等式转化,再解一元二次不等式组可得.
【详解】由原不等式得,所以 ,解得，
即原不等式的解集为.
故选B.
【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式的解法,属于基础题.
11.如图所示，，分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得M（c，b），利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式，化简整理得ba，从而得出ca
，即可算出该椭圆的离心率．
【详解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，
可得焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），点M的坐标为（c，b），
∵Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，
∴|F1F2|2+|MF2|2＝|MF1|2，即4c2b2＝|MF1|2，
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|＝2a，
可得|MF1|2＝（2a﹣|MF2|）2＝（2ab）2，
∴（2ab）2＝4c2b2，整理得4c2＝4a2ab，
可得3（a2﹣c2）＝2ab，所以3b2＝2ab，解得ba，
∴ca，因此可得e，
即该椭圆的离心率等于．
故选：A．
【点睛】本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小，着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题．
12.若，则下列不等式不一定能成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
利用重要不等式和基本不等式进行判断，在利用基本不等式进行判断时需满足“一正、二定、三相等”三个条件成立.
【详解】由重要不等式可得，A、B选项中的不等式一定能成立；
当，时，则，C选项中的不等式不一定能成立；
当时，则，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，D选项中的不等式一定能成立.
故选C.
【点睛】本题考查利用基本不等式与重要不等式判断不等式是否成立，在判断时需要注意等号成立的条件，考查推理能力，属于基础题.
第II卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知满足约束条件，则最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝3x+5y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x＝﹣2且y＝﹣1时，z取得最小值﹣11．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣2，﹣1），B（3，4），C（10.5，1.5）．
设z＝F（x，y）＝3x+5y，将直线l：z＝3x+5y进行平移，
观察直线在y轴上的截距变化，
可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值．
联立，解得A（﹣2，﹣1），
∴z最小值＝F（﹣2，﹣1）＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14.已知椭圆mx2+5y2＝5m（m＞0）的离心率为，求m＝_____．
【答案】3或
【解析】
【分析】
首先要判断焦点坐标所在的轴，因此需要分类讨论，再根据离心率联立解得即可．
【详解】由椭圆mx2+5y2＝5m化为：
当0＜m＜5时，a，c，∴e解得，m＝3；
当m＞5时，a，c，∴e，解得，m.
故答案为：3或
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，以及离心率的计算公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题．
15.已知，当________时，代数式有最小值.
【答案】
【解析】
分析】
先将变形为，根据均值定理，不等式等号成立的条件是，解方程，即可.
【详解】
当且仅当时，等号成立.
即或（舍）时，代数式有最小值.
故答案为：
【点睛】本题考查均值定理的取等条件，属于较易题.
16.设，则函数的最大值为_____.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意，由可得，则可以将变形为，再由基本不等式的性质可得，即可得答案.
【详解】，
当且仅当“，即”时，等号成立．
因为，
∴函数的最大值为，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式求函数最值的问题，在解题的过程中，注意等号成立的条件，也可以利用配方法求二次函数在某个区间上的最值，属于简单题目.
三、解答题（本题共6小题，17小题10分，18-22每小题12分，共70分.）
17.已知椭圆C：4x2+9y2=36．求的长轴长，焦点坐标和离心率．
【答案】椭圆的长轴长6，焦点坐标（-，0），（，0），离心率
【解析】
【分析】
写出椭圆的标准方程，求出a，b，c，代入求出长轴长，焦点坐标和离心率．
【详解】椭圆C：的标准方程为：，
所以 ，
所以椭圆的长轴长，焦点坐标，
离心率．
【点睛】考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，及其离心率公式，属于基础题．
18.某企业生产、两种产品，生产每产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤
电
已知生产产品的利润是万元，生产产品的利润是万元.现因条件限制，企业仅有劳动力个，煤，并且供电局只能供电，则企业生产、两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
【答案】当生产种产品，种产品时，企业获得最大利润，且最大利润为万元.
【解析】
【分析】
设该企业生产种产品，种产品，获得的利润为万元，根据题意列出关于、的约束条件以及线性目标函数，利用平移直线法得出线性目标函数取得最大值的最优解，并将最优解代入线性目标函数即可得出该企业所获利润的最大值.
【详解】设该企业生产种产品，种产品，获得的利润为万元，目标函数为.
则变量、所满足的约束条件为，作出可行域如下图所示：
作出一组平行直线，当该直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即（万元）.
答：当生产种产品，种产品时，企业获得最大利润，且最大利润为万元.
【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
【答案】（Ⅰ）底面积1600平方米，池壁面积8(x＋)（Ⅱ）当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
【解析】
【分析】
（1）根据容积，以及深度即可求得底面积；根据底面积，将宽用表示出来，进而求解出池壁的面积；
（2）根据（1）中所求，建立造价与之间的函数，用均值不等式求得最小值.
【详解】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有(平方米)．池底长方形宽为米，
则S2＝8x＋8×＝8(x＋)．
（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．
当且仅当x=，即x＝40时取等号．
所以x＝40时，总造价最低为256000元．
故当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及均值不等式求最小值，属综合基础题.
20.命题关于的不等式命题函数 求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
容易求出命题p为真时，﹣2＜a＜2，而q为真时，a＜1．由p∨q为真，p∧q为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围．
【详解】①若命题p为真，则：△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2；
②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1；
∴p∨q为真，p∧q为假，则p真q假，或p假q真；
∴，或；
∴1≤a＜2，或a≤﹣2；
∴实数a的取值范围为．
【点睛】“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.
21.
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程．
（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．
【详解】解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．
22.设命题:实数满足；命题：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求解一元二次不等式可得p，q为真命题的x的范围，取交集得答案；
（2）由￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．
【详解】（1）由得; ，
当时，，即P为真时，.
由得，即，即q为真时，.
因为为真，则p真q真，所以 ；
（2）由得；，又，
所以m＜x＜3m
由得，即；
设或，或
若的充分不必要条件
则A是B 的真子集，所以解得∴
故有.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假判断，训练了充分必要条件的判定方法及应用，是基础题．