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- 2021-04-19 发布
第九节 圆锥曲线的综合问题
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
圆锥曲线的综合问题
（1）会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题。
(2) 了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。
（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。
2013•浙江文22；理21；
2014•浙江文17,22；
2015•浙江文19；理19；
2016•浙江文19；理19；
2017•浙江21.
1.考查直线与椭圆的位置关系；
2.考查直线与抛物线的位置关系；
3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题,如取值范围、最值、定值、定点、存在性问题等.
4.备考重点：
(1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质；
（2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题题型的解法；
（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.
【知识清单】
1. 圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法
圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．
对点练习：
【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】
试题解析：（Ⅰ）因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
2. 圆锥曲线中的最值与范围问题
与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用．
对点练习：
【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
3. 圆锥曲线中的探索性问题
探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法．
对点练习：
【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
【考点深度剖析】
圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点．
【重点难点突破】
考点1 圆锥曲线中的定点、定值问题
【1-1】【2016年高考北京理数】已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.
求证：为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
直线的方程为.
令，得.从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
【1-2】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
【领悟技法】
定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
【触类旁通】
【变式一】【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（1）求的最小值；
（2）若，求证：直线过定点.
【答案】（1）.（2）见解析
（2）由（1）知所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点的坐标，并代入 ，得到 ，因此得证直线过定点；
试题解析：（1）设直线 的方程为，由题意， ，
由方程组，得，
由题意，所以，
设，
由根与系数的关系得，所以，
由于为线段的中点，因此，
此时，所以所在直线的方程为，
又由题意知，令，得，即，
所以，当且仅当时上式等号成立，
此时由得，因此当且时， 取最小值.
（2）证明：由（1）知所在直线的方程为，
将其代入椭圆的方程，并由，解得，
又，
由距离公式及得
， ，
，
由，得，
因此直线的方程为，所以直线恒过定点.
【变式二】【2017届北京市东城区东直门中学高三上学期期中】如图，椭圆经过点，且离心率为．
（）求椭圆的方程．
（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与
的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）．（）斜率之和为定值．
（）由题设知，直线的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立，
，得．
由已知，
设，，，
则，，
从而直线，的斜率之和：
．
故直线、斜率之和为定值．
考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题
【2-1】【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C： 的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求S的范围.
【答案】(1) （2）5（3）
设直线的方程为,代入椭圆方程，消去，根据、、恰好构成等比数列，求出,进而表示出，即可得出结论。
表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。
解析：(1)由题意可知，且，
所以椭圆的方程为
（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为（），、
由
，因为、、恰好构成等比数列，
所以，
即；
所以
此时
得，且（否则：，则，中至少有一个为，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）
所以；
所以
所以是定值为5；
（3）（，且）
所以
【2-2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为.
（I）求证：；
（II）求面积的最小值.
【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值
【解析】试题分析：（1）设，的斜率分别为，由切线条件，易得，即，由两根之积可得所以；（2），而
，同理可得，即，然后求最值即可.
（II）由（I）得，
所以
综上，当时，面积取最小值.
【综合点评】
1.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．
2.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．
【领悟技法】
圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
【触类旁通】
【变式1】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
【答案】A
当椭圆的焦点在 轴上时， ，
当 位于短轴的端点时， 取最大值，要使椭圆 上存在点满足， ，，解得： ，
的取值范围是 故选A．
【变式2】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， 、分别为两个切点，求面积的最小值．
【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2.
联立由韦达定理得，可求得．
进而求得点到直线的距离． 则的面积所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.．
试题解析：（Ⅰ） 的方程为 其准线方程为．
（Ⅱ）设， ， ，
则切线的方程： ，即，又，
所以，同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为.
联立得，所以。
所以．
点到直线的距离．
所以的面积
所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.
考点3 圆锥曲线中的探索性问题
【3-1】【2017届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）在轴上存在一点，使得轴平分.
试题解析：解：（Ⅰ）圆的方程可化为： ，
故圆心，半径，
而，所以点在圆内.
又由已知得圆的半径，由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即，
所以，
故点的轨迹，即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.
显然，所以，
故曲线的方程为
（Ⅱ）设，当直线的斜率不为时，设直线，
代入得： ， 恒成立.
由根与系数的关系可得， ，
设直线的斜率分别为，则由得，
.
∴，将代入得，
因此，故存在满足题意.
当直线的斜率为时，直线为轴，取，满足，
综上，在轴上存在一点，使得轴平分.
【3-2】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知点在椭圆内，过的直线与椭圆相交于A，B两点，且点是线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；
（Ⅱ）求面积S的最大值．
【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：
试题解析：
（Ⅰ）存在.
由题意直线的斜率必存在，设直线的方程
是
代入得：
.（1）
设，，则，即，
解得：，
此时方程（1）即
由解得，，
（或由解得，）
当时，显然不符合题意；
当时，设直线的斜率为，只需，
即，解得，均符合题意.
（Ⅱ）由（1）知的方程是，
所以，
，
因为，所以当时，.
【领悟技法】
解析几何中存在性问题的求解方法：
1．通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在．
2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
【触类旁通】
【变式一】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】如图，已知椭圆经过不同的三点在第三象限），线段的中点在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．
试题解析：（Ⅰ）由点在椭圆上，得解得所以椭圆的方程为………………………3分
由已知，求得直线的方程为从而（1）
又点在椭圆上，故（2）
由（1）（2）解得（舍去）或从而
所以点的坐标为………………………………………6分
（Ⅱ）设
因三点共线，故整理得
因三点共线，故整理得……………10分
因点在椭圆上，故，即
从而
所以为定值． ………………………15分
【变式二】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.
【答案】(1) ,(2) .
（Ⅰ）设动点，则，且，①
又，得，
代入①得动点的轨迹方程为．
（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．
直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，
得，
由，
解得，②
设，线段的中点，
则．
由题设知，正方形在轴左边的两边所在的直线方程分别为，注意到点不可能在轴右侧，则点在正方形内（包括边界）的条件是
即
解得，此时②也成立．
于是直线的斜率的取值范围为．
考点4 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
【4-1】【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】已知椭圆，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆的另一个焦点是，且.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.
【答案】(1) ；(2)3.
【解析】试题分析：
(1)由题意求得，所以椭圆的方程为；
(2)由题意求得内切圆的面积函数： ，换元之后结合对勾函数的性质可得面积的最大值为3.
（2）由（1）知，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为，则（为三角形的内切圆半径），当面积最大时，其内切圆面积最大
设直线的方程为：
由得
所以
令，则，所以，而在上单调递增，
所以，当时取等号，即当， 面积的最大值为3
【4-2】已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【答案】（1）；（2）.
若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，解得，故直线l：；有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，.
【领悟技法】
直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．
【触类旁通】
【变式一】【2018届江西省南昌市上学期高三摸底】已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，
求证：点在定圆上.
【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2）证明见解析
② ，由①②得 点在定圆上.
试题解析：（1）设焦距为，由已知， ，∴， ，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设，联立得，
依题意， ，化简得，①
，
，
若，则， 即，
∴，
∴，
即，化简得，②
由①②得.
∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）
【变式二】【2017届云南省昆明市高三下学期第二次统测】在直角坐标系中， 动圆与圆外切，同时与圆内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
，所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，
又和在椭圆上，故，则
.
所以.
【易错试题常警惕】
易错典例：中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程．
易错分析：没注意检验曲线上的点是否都满足题意．
温馨提示：1.要注意完备性和纯粹性的检验．
2.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
【学科素养提升之思想方法篇】
----数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
【典例】【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.
（1）证明：抛物线与圆相切；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）．
试题解析：
（1）证明：∵，∴，故抛物线的方程为，
联立与，得，
∵，∴抛物线与圆相切.
（2），直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
∴，
设，
由，得，
则，
∴，
∴，设 ，则，
设，则，
∵，∴，∴函数在上递增，
∴，∴，即的取值范围为.