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- 2021-04-19 发布
第23讲 选修4－4 选修4－5
(对应 生用书第118页)
一、选择题
1.(2017·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
【导 号：07804137】
[解] (1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.
当a≥－4时，d的最大值为.
由题设得＝，所以a＝8;
当a＜－4时，d的最大值为.
由题设得＝，
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
选修45：不等式选讲
已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，φ∈)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
[解] 由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，半径为2，
∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，
(2＋tcos φ)2＋(＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－2(＋tsin φ)＝0，
整理得，t2＋2tcos φ－3＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2cos φ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝＝，
∵φ∈，∴cosφ∈，∴|MN|∈[，4]．
(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲
已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4.
(1)求a＋b的值；
(2)求a2＋b2的最小值．
[解] (1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，
所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，
又a>0，b>0，
所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，
所以a＋b＝4.
(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，
a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋
＝2＋，
当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2取到最小值为.
3.(2016·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2
的公共点都在C3上，求a.
【导 号：07804138】
[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
(2016·全国Ⅰ卷)选修45：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
图231
[解] (1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为
.
4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原 的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.
(1)求曲线C2的参数方程；
(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．
[解](1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
由题可得曲线C2的方程为＋y2＝1.
所以曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos θ，sin θ)，
则l＝8cos θ＋4sin θ＝4
＝4sin (θ＋φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝.
所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为4.
此时θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)，
所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，
此时A.
所以直线l1的普通方程为y＝x.
(2017·全国Ⅱ卷)选修45：不等式选讲
已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4，
(2)a＋b≤2.
[证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，
因此a＋b≤2.