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- 2021-04-19 发布
南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（二）
数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．已知集合,,则( )
A． B． C． D．
2．在复平面内,复数对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )
A． B． C． D．
3．下列函数中既是偶函数,又是区间上的减函数的是( )
A． B． C． D．
4．已知函数,则=( )
A． B． C． D．
5．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )
A． B．
C． D．
6．已知实数满足条件则使得目标函数
取得最大值的的值分别为( )
A．0，12 B．12，0 C．8，4 D．7，5
7．函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )
A． B． C． D．
8．下列命题中:①“”是“”的充要条件;
②已知随机变量服从正态分布,,则;
③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为;
④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如右图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是( )
10．抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,弦的中点在该抛物线准线上的射影为,则的最大值为( )
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.
12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.
13．已知二项式展开式中的常数项为,且函数,则___________.
14．已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.
三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.
15.(1)（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线l与圆相交于两点,若,则直线l的极坐标方程为____________.
(2)（不等式选做题）不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.
四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知向量,函数
(1)求函数的最小正周期T及单调减区间;
(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，,,且.求A，b的长和ABC的面积.
17.（本小题满分12分）
小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.
(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;
(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.
18.（本小题满分12分）
各项均为正数的数列前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,,求数列的通项公式.
19.（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点（与端点不重合），且.
(1)若，求证:;
(2)若直线与平面所成角的大小为，求的最大值.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.
21.（本小题满分14分）
已知函数（）.
(1)若函数在处取得极大值,求的值;
(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;
(3)证明:，.
2013届高三模拟试卷（02）数学（理）【参考答案】
二、填空题
11.3 12. 13.
14.bm＋n＝..解析：观察{an}的性质：am＋n＝,则联想nb－ma对应等比数列{bn}中的,而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方,故bm＋n＝.
三、选做题
15.（1）. 解析：设极点为O,由该圆的极坐标方程为ρ＝4,知该圆的半径为4,又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4,所以∠AOB＝60°,∴极点到直线l的距离为d＝4×cos30°＝2,所以该直线的极坐标方程为.
（2）或.解析：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2－3a≥4即可,解得或.
四、解答题
16.解析：(1)…………（2分）
…………………………（4分）
单调递减区间是 …………（6分）
(2); …………………………………………8分）
…………（10分）. ………………………………（12分）
17.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,
则P1＝2＝. …………（4分）
(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X＝0)＝＋×＝,
P(X＝1000)＝2＝, P(X＝3000)＝22＝,
P(X＝6000)＝22＝,
∴X的概率分布列为
X
0
1000
3000
6000
P
…………………（10分）(错一列扣2分，扣完为止)
∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160. ……（12分）
18.解析：(1)，
两式相减得：，…………………………………（2分）
即，………………………………（4分）
为首项为1，公差为2的等差数列，故………………………（6分）
(2)，依题意得，相除得……（8分）
，代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分）
或.…………………………………………………………………（12分）
19.解析：如图,建立空间直角系,则…（1分）
(1)当时,,此时,,…（3分）
因为，所以.………………（5分）
(2)设平面ABN的法向量，则，
即，取。而，………………（7分）………………（9分）
，，故………（11分）
当且仅当，即时，等号成立. …………………………………………（12分）
20.解析:(1)由已知得 ∴方程： （4分）
(2)由题意可设直线的方程为：
联立 消去并整理，得：
则△ ,
此时设、∴
于是 ………………（7分）
又直线、、的斜率依次成等比数列，
∴
由 得： .又由△ 得：
显然 （否则：，则中至少有一个为0，直线、 中至少有一个斜率不存在，矛盾！） ……………………………（10分）
设原点到直线的距离为,则
故由得取值范围可得△面积的取值范围为…………（13分）
21.解析：(1)，由 经检验符合题意……（3分）
(2)依题意知，不等式在恒成立.令,
当k≤0时,取x＝1,有，故k≤0不合．…………………………（4分）
当k＞0时， g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1. ……………………………（5分）
①当k≥时， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意．…………（6分）
②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，
故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，g(x0)＞g(0)＝0，不合．
综上，. …………………………（8分）
(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．……………（9分）
当n≥2时，在(2)中取k＝，得……………（10分）
取x=代入上式得:-ln(1+)≤＜………（12分）
≤2－ln3＋
－ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.
综上，－ln(2n＋1)＜2， ……………………………… （14分）