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- 2021-04-19 发布
2017-2018学年内蒙古包头市第四中学高二下学期期中考试数学（理）试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（每题5分共60分每小题只有一个正确选项）
1．已知空间向量，且，则（ ）
A． B. C. D.
2．已知为空间两两垂直的单位向量，且，则( )
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
3设为正整数,，经计算得观察上述结果，可推测出一般结论( )
A． B． C． D．以上都不对
4．如上图，第个图形是由正边形“扩展”而来，（），则在第个图形中共有（ ）个顶点.
A． B． C． D．
5．设函数的导函数，则数列的前n项和是（ ） A． B． C． D．
6．如图所示的是函数的大致图象，则等于 （ ）
A． B． C D．
7．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的单调递减区间是 （ ）
A． B． C． D．
9．函数的最大值为（ ）
A B C D
10．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
11．等于（ ）
A． B. 2 C. -2 D. +2
12．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B ′C ′D ′，A′C 的中点E与AB的中点F的距离为 ( )．
A.a B. a C．a D.a
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题4道小题，每题5分共20分）
13．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于 ．
14．已知类比这些等式，若（a，b均为正实数），则______.
15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ．
16．函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______.
三、解答题（本题6道小题，共70分）
17．（本小题满分12分）已知空间向量
（1）求及的值；
（2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值。
18．（本题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为2，
为中点，试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证面；
（2）求二面角的余弦值。
19．（本题满分12分）
已知函数的图像与函数的图象相切，记
（1）求实数b的值及函数F（x）的极值
（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围。
20．（本题满分12分）
已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对，不等式恒成立，求c的取值范围
21（本题满分12分）．设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围。
22．（本题满分10分）设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤
(2).
参考答案
1．C 2．A. 3．C 4．B 5．A； 6．C; 7．A； 8．C；9．A 10．C 11．D 12．B
13．2 14． 15． 16．5，-15
17．【解析】（1）∵
∴①……………………2分
∴
∴②……………………4分
联立①，②解得：……………………6分
（2）
……………………10分
∴……………………11分
当
此时
18
【解析】取BC中点O，连AO，∵为正三角形，
∴，∵在正三棱柱中，
平面ABC平面,∴平面，
取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,[]
∵,。
∴，,∴面。……6分
（2）设平面的法向量为,。
，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，
∴为平面的法向量，
，
∴二面角的余弦值为。…………12分
19．⑴极大值，极小值0，⑵（0，）
【解析】（1）依题意，令，得
列表如下：
－1
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值0
↗
从上表可知处取得极小值0．
…………………6分
（2）由（1）可知函数作函数的图象，
当 的图象与函数的图象有三个交点时，
关于x的方程
……………12分
20．【解析】（1）
由，得
，函数的单调区间如下表：
极大值
¯
极小值
所以函数的递增区间是与,递减区间是；
（2），当时，
为极大值，而，则为最大值，要使
恒成立，则只需要，得
21．（1）或（2）或
【解析】（1）当时，不等式为，
所以 或 或，解得或． 4分
故不等式的解集为或． 5分．
（2）因为（当时等号成立）， 8分
所以 ．由题意得， 解得或． 10分
22．
【解析】(1)由得.
由题设得,即.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即
≥a+b+c，所以.