- 620.50 KB
- 2021-04-19 发布
山东省济南市历城区2016-2017学年高二（上）期中数学试卷(解析版)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若一数列为，2，，┅，则4是这个数列的（ ）
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
2．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
3．下列各式中值为的是（ ）
A．sin45°cos15°+cos45°sin15°
B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C．cos75°cos30°+sin75°sin30°
D．
4．在等比数列{an}中，a1=1，a5=16，则公比q为（ ）
A．±2 B．3 C．4 D．8
5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=6，a=6，则此三角形有（ ）
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
6．等差数列{an}的前项和为Sn，若a3+a8+a13=21，则S15的值是（ ）
A．105 B．120 C．56 D．84
7．已知tan（3π﹣α）=﹣，tan（β﹣α）=﹣，则tan β=（ ）
A．1 B． C． D．
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．已知sin2α=，则cos2（）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
10．已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
11．在等差数列{an}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（ ）
A．S5 B．S6 C．S7 D．S8
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，数列的前n项和Tn=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）.
13．（4分）已知﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，1，b1，b2，27成等比数列，则= ．
14．（4分）﹣= ．
15．（4分）在数列{an}中，a1=1，（n≥2），则a5= ．
16．（4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
三、解答题（本大题共6小题，满分共74分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若，求a的值．
18．（12分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b4=a3，b5=a7，问：b7与数列{an}的第几项相等？
19．（12分）已知函数，x∈R，且．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）设α，β∈[0，]， =﹣，，求cos（α+β）的值．
20．（12分）已知函数f（x）=sin+2sin2（x﹣） （x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的递增区间．
21．（12分）如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
（Ⅱ）求四边形OPDC面积的最大值．
22．（14分）设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an﹣2．，令bn=log2an
（I）试求数列{an}的通项公式；
（II）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内的项的个数记为dm，求数列{dm}的前m项和Tm．
2016-2017学年山东省济南市历城区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若一数列为，2，，┅，则4是这个数列的（ ）
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
【考点】数列的函数特性．
【分析】由数列为，2，，┅，可知被开方数是以2为首项，3为公差的等差数列．利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：由数列为，2，，┅，可知被开方数是以2为首项，3为公差的等差数列．
∴通项公式为=
令4=，解得n=11．
故4是这个数列的第11项．
故选C．
【点评】熟练掌握等差数列的通项公式是解题的关键．
2．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．
【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，
∴由正弦定理得：sinB===．
故选B
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
3．下列各式中值为的是（ ）
A．sin45°cos15°+cos45°sin15°
B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C．cos75°cos30°+sin75°sin30°
D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用两角和公式分别对四个选项进行运算验证．
【解答】解：A项中sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=，
B项中sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=，
C项中cos75°cos30°+sin75°sin30°=cos（75°﹣30°﹣）=cos45°=，
D项中=tan（60°﹣30°）=tan30°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了两角和公式的运用．要求学生对两角和与差的正弦和余弦函数，两角和与差的正切函数公式能熟练掌握．
4．在等比数列{an}中，a1=1，a5=16，则公比q为（ ）
A．±2 B．3 C．4 D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a1=1，a5=16，
∴16=q4，解得q=±2．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=6，a=6，则此三角形有（ ）
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
【考点】正弦定理．
【分析】由三角形的知识可判三角形为正三角形，可得一解．
【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°，
由三角形的内角和可得B=60°，
∴此三角形为正三角形，唯一解．
故选：B．
【点评】本题考查三角形解的个数的判断，涉及等边对等角和三角形的内角和，属基础题．
6．等差数列{an}的前项和为Sn，若a3+a8+a13=21，则S15的值是（ ）
A．105 B．120 C．56 D．84
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列通项公式先求出a8=7，再由前n项和公式得到S15==15a8，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前项和为Sn，a3+a8+a13=21，
∴a3+a8+a13=3a8=21，解得a8=7，
∴S15==15a8=105．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前15项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
7．已知tan（3π﹣α）=﹣，tan（β﹣α）=﹣，则tan β=（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用诱导公式求得 tanα，利用两角和的正切公式求得tan β=tan[（β﹣α）+α]的值．
【解答】解：∵tan（3π﹣α）=﹣tanα=﹣，∴tanα=，又tan（β﹣α）=﹣，
则tan β=tan[（β﹣α）+α]= = =，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题．
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用余弦定理求得a．
【解答】解：由已知得： bcsinA=×1×c×sin60°=⇒c=2，
则由余弦定理可得：a2=4+1﹣2×2×1×cos60°=3⇒a=
故选D
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用和三角形面积公式的应用．解题的关键是通过余弦定理完成了边角问题的互化．
9．已知sin2α=，则cos2（）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接对关系式进行恒等变换，然后根据已知条件求出结果．
【解答】解： ==，
由于：，
所以： =，
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，注意关系式的变换技巧．
10．已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得c2+a2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解．
【解答】解：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，
∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA可得，
（b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，
则cosB==，
由于0＜B＜180°，则B=30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．
11．在等差数列{an}中，已知a3+a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…S9中最小的是（ ）
A．S5 B．S6 C．S7 D．S8
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a3+a8＞0，且S9＜0，可得a5＜0，a6＞0．即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8＞0，且S9＜0，
a5+a6＞0， d＜0，即a5＜0．
∴a6＞0．
∴d＞0，
则S1、S2、…S9中最小的是S5．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，数列的前n项和Tn=（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】推导出an=2n﹣1，从而==，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，，
∴=12=1，
an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，
当n=1时，2n﹣1=1=a1，
∴an=2n﹣1，
∴==，
∴数列的前n项和：
Tn=1﹣+…+=1﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）.
13．已知﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，1，b1，b2，27成等比数列，则= 8 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，得d=a2﹣a1=，由1，b1，b2，27成等比数列，得q==3，由此能求出的值．
【解答】解：∵﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，
∴﹣9+3d=﹣1，解得d=，∴a2﹣a1=，
∵1，b1，b2，27成等比数列，
∴1×q3=27，解得q=3，∴ =3，
∴=3×=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查等比数列的公比与等差数列的公差的乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列与等比数列的性质的合理运用．
14．﹣= ﹣4 ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】将所求关系式通分，利用三角恒等变换与二倍角的正弦即可求得答案．
【解答】解：原式=﹣====﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
15．在数列{an}中，a1=1，（n≥2），则a5= ．
【考点】数列递推式．
【分析】由已知条件，利用递推公式依次求出a2，a3，a4，a5．
【解答】解：∵在数列{an}中，a1=1，（n≥2），
∴，
a3=1+=，
a4=1+=3，
a5=1+=．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．
16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100 m．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
三、解答题（本大题共6小题，满分共74分）
17．（12分）（2016秋•历城区期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若，求a的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合bccosA=3，可求bc=5，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅱ）由bc=5，又b+c=，由余弦定理即可解得a的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵cos=，
∴cos A=2cos2﹣1=，sin A=，
又bccosA=3，
∴bc=5，
∴S△ABC=bcsinA=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c=，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16，
∴a=4． …（12分）
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．（12分）（2016秋•历城区期中）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b4=a3，b5=a7，问：b7与数列{an}的第几项相等？
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．
因为a4﹣a3=2，所以d=2．
又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4．
所以an=4+2（n﹣1）=2n+2（n∈N*）．…（6分）
（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b4=a3=8，b5=a7=16，所以q=2，b1=1．…（8分）
所以b7=1×26=64．…（10分）
由64=2n+2得n=31，
所以b7与数列{an}的第31项相等．…（12分）
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•历城区期中）已知函数，x∈R，且．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）设α，β∈[0，]， =﹣，，求cos（α+β）的值．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】（Ⅰ）由代入计算，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（Ⅱ）由=﹣，利用诱导公式可求sin α=，又α∈[0，]，利用同角三角函数基本关系式可求
cos α，由=，得，结合范围β∈[0，]，利用同角三角函数基本关系式可求，
利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，
所以A=2．…（4分）
（Ⅱ）由=2cos（α++）=2cos（α+）=﹣2sin α=﹣，得sin α=，
又α∈[0，]，
所以cos α=．…（8分）
由=2cos（β﹣+）=2cos β=，得，
又β∈[0，]，
所以．…（10分）
所以cos（α+β）=cosαcos β﹣sinαsinβ=×﹣×=﹣．…（12分）
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20．（12分）（2016秋•历城区期中）已知函数f（x）=sin+2sin2（x﹣） （x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用差角三角函数，结合辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由已知，即可求函数f（x）的递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin+1﹣cos
=2[]+1
=2sin+1
=2sin（2x﹣）+1．
∴T==π．…（6分）
（Ⅱ）由已知
得：
所以函数f（x）的递增区间为…（12分）
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2016秋•历城区期中）如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
（Ⅱ）求四边形OPDC面积的最大值．
【考点】三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）若∠POB=θ，0＜θ＜π，由余弦定理将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
（Ⅱ）当θ﹣=，即θ=时，可求四边形OPDC面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在△POC中，由余弦定理，
得PC2=OP2+OC2﹣2OP•OC•cos θ=5﹣4cos θ，…（4分）
所以y=S△OPC+S△PCD
=×1×2sin θ+×（5﹣4cos θ）=2sin（θ﹣）+．…（8分）
（Ⅱ）当θ﹣=，即θ=时，ymax=2+．
答：四边形OPDC面积的最大值为2+．…（12分）
【点评】本题考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
22．（14分）（2016秋•历城区期中）设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an﹣2．，令bn=log2an
（I）试求数列{an}的通项公式；
（II）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内的项的个数记为dm，求数列{dm}的前m项和Tm．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）求出a1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，从而得到数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（II）由，利用错们相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）由数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内，从而2m﹣1＜n＜22m﹣1，进而得到，m∈N+，由此能求出数列{dm}
的前m项和Tm．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1﹣2，a1=2，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，
所以，an=2an﹣1，即，
由等比数列的定义知，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，数列{an}的通项公式为．…（4分）
（II）由（I）知
所以，①
，②…（6分）
①﹣②，得
=，
∴．…（10分）
（Ⅲ）由题知，数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内，即am＜2bn＜a2m，
所以2m＜2n＜22m，所以2m﹣1＜n＜22m﹣1
所以数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内的项的个数为22m﹣1﹣2m﹣1﹣1，m∈N+
所以，m∈N+
所以=．…（14分）
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求地，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．